Распределения Максвелла и Больцмана

№1 На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где - доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от v до в расчете на единицу этого интервала.

Для этой функции неверными являются утверждения, что …

1.При понижении температуры величина максимума функции уменьшается

2.При понижении температуры площадь под кривой уменьшается

Решение: Полная вероятность равна: то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости, и которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.

 

№2 На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.

Для этой функции верными являются утверждения, что …

1.С увеличением температуры максимум кривой смещается вправо

2.При изменении температуры площадь под кривой не изменяется

№3

Зависимости давления идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур представлены на рисунке.
Для графиков этих функций неверными являются утверждения, что …

1.Температура Т₁ выше температуры Т₂

2.Давление газа на высоте h равно давлению на «нулевом уровне» (h = 0), если температура газа стремиться к абсолютному нулю

Решение: Зависимость давления идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется барометрической формулой: , где давление на высоте h=0, масса молекулы, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура . Давление определяется весом всего газа и не меняется при изменении температуры.

 

№4 На рисунке представлены графики зависимости концентрации молекул идеального газа от высоты над уровнем моря для двух разных температур – (распределение Больцмана).

Для графиков этих функций верными являются утверждения, что …

1.Температура выше температуры

2.Концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h=0) с повышением температуры уменьшается

Решение: Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры Т определяется распределением Больцмана: где концентрация молекул на высоте h=0, масса молекулы, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул , и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура: T₂ >T₁. С повышением температуры из-за увеличения энергии хаотического теплового движения молекулы более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» h=0 уменьшается, а на высоте h увеличивается.

 

№5 На рисунке представлен график функции распределения молекул кислорода по скоростям(распределение Максвелла)для температуры Т=273 К, при скорости 380 м/с функция достигает максимума. Здесь плотность вероятности или доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей в расчете на единицу этого интервала. Для распределения Максвелла справедливы утверждения, что…

Решение: Функция распределения Максвелла f( имеет смысл плотности вероятности доля молекул, скорости которых заключены в интервале от до . В нашем случае d вблизи наиболее вероятной скорости молекул, близкой к которой движется большее число молекул dN-число молекул, скорости которых заключены в интервале от 380 м/с до 385 м/с, N-число молекул газа. Площадь заштрихованной полоски определяет долю молекул,скорости которых заключены в интервале от 380 м/с до 385 м/с. С ростом температуры максимум кривой смещается вправо, высота максимума убывает. Наиболее вероятная скорость зависит от температуры газа: она увеличивается с повышением температуры. Вероятность того,что величина скорости может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице поэтому при изменении температуры площадь под кривой остается равной единице. Если точно задана скорость следовательно .

№6 Формула Больцмана характеризует распределение частиц,находящихся в состоянии хаотического теплового движения,в потенциальном силовом поле,в частности распределение молекул по высоте в изотермической атмосфере.Соотнесите рисунки и соответствующие им утверждения…

Утверждения:

Распределение молекул по кинетическим энергиям Рис.1.

Распределение молекул воздуха в атмосфере Земли Рис.3.

Распределение молекул не является больцмановским и описывается функцией Рис.2.

Распределение молекул в силовом поле при очень высокой температуре, когда энергия хаотического теплового движения значительно превосходит потенциальную энергию молекул. Рис.1.

Распределение молекул в силовом поле при температуре T . Рис.4.

Решение:

Концентрация молекул в однородном поле силы тяжести убывает с высотой по закону (распределение Больцмана на рис.3), где n-концентрация молекул на высоте , М-молярная масса, m- масса молекулы, g- ускорение свободного падения, R- универсальная газовая постоянная, k-постоянная Больцмана,T- температруа. В предельных случаях: если и молекулы равномерно распределяются по высоте (рис.1); если и молекулы располагаются на нулевом уровне (рис.4). Если число молекул,имеющих большую потенциальную энергию,увеличивается по экспоненциальному закону ,то такое распределение можно назвать «антибольцмановским», или инверсным.

 

№7 На рисунке представлены графики функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала. Для этих функций верными являются утверждения, что …

Решение: Функция Максвелла имеет вид Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при увеличении массы молекулы газа максимум функции сместится влево, следовательно, высота максимума увеличится.

Ответ: распределение 1 соответствует газу, имеющему наибольшую массу молекул (при одинаковой температуре

 

 

Первое начало термодинамики

№1 Диаграмма циклического процесса идеального одноатомного газа представлена на рисунке. Отношение работы при нагревании газа к работе при охлаждении по модулю равно …

Ответ 2

№2 При изотермическом расширении 0,5 моля газа при температуре 200 К объем увеличился в раз (). Работа газа (в Дж) равна …

Решение: При изотермическом расширении газа работа находится по формуле:

 

№ 3 В процессе, представленном на рисунке, работа идеального одноатомного газа (в кДж) при нагревании равна

Решение: Работа газа в координатных осях численно равна площади под графиком функции. Работа при нагревании совершается в процессе . .

№4 Диаграмма циклического процесса идеального одноатомного газа представлена на рисунке. Работа газа за цикл (в кДж) равна …

Решение:

Работу газа в циклическом процессе можно найти, определив площадь, ограниченную кривой цикла в координатах p, V Цикл имеет форму трапеции. Тогда .

№5 На (P,V)-диаграмме изображены 2 циклических процесса.

Отношение работ , совершенных в этих циклах, равно

 

Ответ 2.

№6 На рисунке изображен цилиндрический процесс, происходящий с одним молем двухатомного идеального газа. Газ совершает работу только за счет полученного извне тепла на участке …

Решение.

Из графика видно, что газ получает теплоту в процессах 1-2 и 3-1. Переход 3-1 осуществляется при постоянном объеме, следовательно, работа газа . Из графика видно, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, т.к. ; следовательно, и изменение внутренней энергии . По началу термодинамики для процесса 1-2 количество теплоты равно: , т.е. газ совершает работу за счет полученного извне тепла. Процесс 2-3 является изобарным сжатием, газ передает тепло внешней среде.

№7 При увеличении давления в 3 раза и уменьшении объема в 2 раза внутренняя энергия идеального газа….

Решение. Внутренняя энергия идеального газа равна (учитываем, что ), где давление, объем, полное число степеней свободы, универсальная газовая постоянная, абсолютная температура, масса газа, Учитывая, что , , получаем

. Следовательно,

Ответ. Увеличится в 1,5 раза

№8 Идеальный газ переводится из первого состояния во второе двумя способами(1а2 и 1b2),как показано на рисунке.Теплота,полученная газом,изменение внутренней энергии и работа газа при переходе его из одного состояния в другое связаны соотношениями…

Решение. При любом способе перехода идеального газа из первого состояния во второе,согласно первому началу термодинамики,теплота,сообщаемая газу,расходуется на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы против внешних сил: При этом изменение внутренней энергии,как однозначной функции термодинамического состояния системы, не зависит от способа перехода и определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний: . Работа , совершаемая газом при изменение его объема от , зависит от процесса перехода. Величина этой работы равна площади фигуры под графиком процесса в кординатных осях p,V(см.рис.). , так как площади заштрихованных фигур . Следовательно по первому закону термодинамики: . Теплота,полученая газом,изменение внутренней энергии и работа газа при переходе его из одного состояния в другое связы соотношениями: .

№9 Если при коэффициенте полезного действия тепловой машины 80 %, рабочее тело отдает холодильнику 200 Дж тепла, то получает от нагревателя ____ Дж тепла

Решение: Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется по формуле , где – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. =0,8, , .

 

№10 Идеальному газу сообщается одинаковое количество теплоты при изохорном (1), изобарном (2) и изотермическом (3) процессах. Для совершаемых газом работ справедливы соотношения …

Ответ .

№11 Одноатомному идеальному газу в результате изобарического процесса подведено количество теплоты . На увеличение внутренней энергии газа расходуется часть теплоты , равная …

Ответ 0,6