Распределение молекул по компонентам скоростей.

Распределение Максвелла для вектора скорости — является произведением распределений для каждого из трех направлений: , где распределение по одному направлению:

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Экспериментальная проверка распределения Максвелла.

Схема опыта Ламмерта. 1-быстро вращающиеся диски, 2-узкие щели, 3-печь, 4-коллиматор, 5-траектория молекул, 6-детектор.

При вращении дисков с постоянной угловой скоростью , через их прорези беспрепятственно проходили только атомы, имевшие скорость : (5.75) где - расстояние между вращающимися дисками.

Меняя угловую скорость вращения дисков можно было отбирать из пучка молекулы, имеющие определенную скорость , и по регистрируемой детектором интенсивности судить об относительном содержании их в пучке.

Таким способом удалось экспериментально проверить статистический закон распределения молекул по скоростям

Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия.

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией равно

Где - кратность состояния частицы с энергией - число возможных состояний частицы с энергией . Постоянная находится из условия, что сумма по всем возможным значениям равна заданному полному числу частиц в системе (условие нормировки):

Барометрическая формула.

Таким образом, зависимость атмосферного давления от высоты выражается формулой:

 

Броуновское движение. Длина свободного пробега. Частота соударений. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Характер движения броуновских частиц. Стохастические дифференциальные уравнения. Уравнение Смолуховского. Опыты Перрена по определению числа Авогадро.

Броуновское движение – это беспорядочное непрерывное движение малых взвешенных частиц в жидкости или в газе, которое не зависит от внешних причин и оказывается проявлением внутреннего движения вещества. Броуновские частицы совершают движение под влиянием беспорядочных ударов молеул.

Длина свободного пробега - с редняя длина пути, проходимого частицей между двумя последовательными соударениями с др. частицами. Это случайная величина Молекулы от столкновения до столкновения движутся равномерно и прямолинейно.Если за 1 сек молекула проходит в среднем путь равный скорости v, испытывая при этом ν упругих соударений с такими же молекулами, то средняя длина свободного пробега , где n — число молекул в единице объёма (плотность газа), σ — эффективное поперечное сечение молекулы.

Частота соударений. В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу. Как показывает соответствующий расчет, средняя скорость относительно движения молекул в раз больше скорости <v> молекул относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно .

Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Число степеней свободы i - число независимых переменных (координат), которые необходимо задать для определения положения тела в пространстве.Средняя энергия приходящаяся на одну степень свободы: , у одноатомной молекулы i=3, тогда , для двухатомной молекулы i=5, для трехатомной i=6. Т. о., на среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i – степеней свободы, приходится .

Характер движения броуновских частиц. Причина броуновского движения заключается в том, что при достаточно малых размерах частиц импульсы, сообщаемые частице ударяющимися о нее с разных сторон молекулами, оказываются нескомпенсированными. О частицу заметных размеров ударяется одновременно большое число молекул, так что суммарный результат ударов молекул достаточно хорошо усредняется. При малых размерах частицы начинают проявляться отклонения скоростей отдельных молекул и числа ударяющихся молекул от средних значений. Если скорость или число молекул, ударяющихся о частицу с одной стороны, окажется иной, чем для молекул, ударяющихся с другой стороны, то результирующий импульс, сообщаемый частице, будет отличен от нуля и частица начнет двигаться в соответствующем направлении. В следующий момент результирующий импульс имеет иное направление. Следовательно, частица будет все время перемещаться беспорядочным образом.

Стохастические дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение, в котором один член или более представляют собой случайный процесс.

Уравнение Смолуховского — кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции распределения координат и скоростей частиц при одномерном броуновском движении

{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\left[-{\frac {\partial }{\partial x}}v+{\frac {\partial }{\partial v}}\left(\gamma v-{\frac {F(x)}{m}}\right)+{\frac {\gamma k_{B}T}{m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}v}}\right]P}

где - функция распределения броуновских частиц по координатам и скоростям, v — скорость, - внешняя сила, - постоянная Больцмана, T — температура, - параметр, характеризующий вязкость среды, в которой происходит броуновское движение. Уравнение Смолуховского является частным случаем уравнения Фоккера — Планка.

Опыты Перрена по определению числа Авогадро. Взвешенные в жидкости очень мелкие твердые частицы находятся в состоянии непрестанного беспорядочного движения. Броуновское движение указывает на то, что достаточно малые частицы вовлекаются в совершаемое молекулами тепловое движение. Принимая участие в тепловом движении, такие частицы должны вести себя подобно гигантским молекулам, и на них должны распространяться закономерности кинетической теории, в частности закон распределения Больцмана. Основную трудность в опытах Перрена составляло приготовление одинаковых частиц и определение их массы. однородную эмульсию. Эмульсия помещалась в плоскую стеклянную кювету глубиной 0,1 мм и рассматривалась с помощью микроскопа. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте. С помощью этой формулы по измеренным можно определить постоянную Больцмана k. Далее, разделив газовую постоянную R на k, можно было найти число Авогадро.