Взаимодействие квантовой системы с излучением.

Квантовое э/м поле. Прост-во сост-й э/м поля. Уравнения Максвалла в гамильтоновой форме. Исследуем систему фотонов (квантов э/м поля) с помощью метода вторичного квантования. В представл-и этого метода все операторы выраж-ся ч/з операторы рождения и уничтожения частиц в одночастич. сост-х с числом степеней свободы только одной частицы, а сост-е всей системы описывается ф-ми, зависящими от чисел, указыв-х число частиц в каждом одночастич. сост-и. Э/м поле в классич. электродинамике опис-ся с помощью плотности ф-и Лагранжа: где А –вектор. потенциал, ч/з кот. при усл-и div A=0 выр-ся напряженнность эл. поля Е и магнит. В. Учитывая, что и решая ур-е Лагранжа Получаем из (1) первое ур-е Максвелла Три других ур-я следуют из (2) Из (2) и (4) получаем ур-е для вектор. потенциала: Выр-е для обобщенного импульса и/т вид: Ф-я Гамильтона, выр-ся ч/з вектор. потенциал и обобщ. импульс и/т вид: где -операторы уничтожения и рождения фотона. Переходя в (2) к операторам вектор. пот-ла и обобщ. имп., выраженные в свою очередь ч/з получим операторы напряженности эл. и магн. полей.

.где

-соответственно волновой вектор фотона, объем, в кот. заключено э/м поле, вектор поляризации фотона. В сост-х с опред. числом частиц энергия и импульс опред-ся выр-ем: Т. об. квантование э/м поля соответствует введению элементарных возбуждений фотонов, имеющих энергию и импульс , поляризацию переход от классич. величин , описывающих э/м поле к операторам наз. квантованием (второичным квантованием) поля. Спин и спиральность фотона. Состояние фотонов опред-ся энергией , импульсом и поляризацией, т. е. 2 векторами перпендикулярными д/д и вектору Q, а также с помощью спинового момента фотона. Понятие спинового момента фотона вводится как наименьшего из всех возможных значений его мом. импульса. Проекции оператора спинового момента импульса опред-ся тремя матрицами со спином S=1

 

Два собственных значения +1 и –1 оператора проекции спина частицы на направление импульса наз. спиральностью частицы. в сост-х с определенной спиральностью каждому значению импульса соответствует только одно спиновое сост-е. При положительной спиральности напр-е импульса и направление спина параллельны. При отриц. спиральности антипар-ны. Такие сост-я м/т реализовать отлько частица с нулевой массой покоя и двигающаяся со скоростью света (фотон). Квантовая система в поле э/м волны. Дипольное приближение. Вероятность перехода. Матричный элемент оператора дипольного момента. Правила отбора. Спектральные серии. Взаимодействие бесспиновой частицы массы m и заряда е, входящей в состав атома (молекулы), с э/м полем, описываемым векторным потенциалом , опред-ся оператором

-оператор импульса. Вероятности перехода м/о представить в виде ряда по оператору взаимодейст-вия W(t) при вычислении методом теории возмущения с порядком малости (постоянная тонкой структуры). В первом приближении оставим только первый член Без учета взаимодействия (6) гамильтониан полной системы представляет собой сумму гамильтонианов атома Н_a и э/м поля Н_F. Предположим, что решение ур-я Шредингера для атома и/т вид: (Н_a-Е_е)j_е=0,(7)

Положим с собственными ф-ми в поле -фотонов. Здесь как и раньше - операторы рождения и уничтожения фотонов, волновой вектор фотонов. Матричный элемент оператора импульса обозначим собственные ф-и полной системы до и после взаимодействия. Разлагая в матричном элементе экспоненту в ряд: м/о учесть первый член ряда, т. е. положить .Такое упрощение наз. длинноволновым приближением (дипольным?). Если перейти от матричного элемента оператора импульса к матричному элементу от оператора координаты

(е-определяет направление поляризации фотона), наз. дипольным электрическим моментом перехода l®f. Э/м излучение, обусловленное отличным от нуля матричным элементом (10) наз-ся дипольным э/м излучением. Мультиплетность линий излучения опред-ся мультиплетностью энергетических уровней атома. Чтобы опред-ть мультиплетность линий изл-я по мультиплет-ти энергет. уровней, необходимо знать правила отбора для квантовых чисел l (орбитального), s (спинового), J (полного момента атома) при оптических переходах (переходах валентного (внешнего электрона)). Если взаимод-е м/у различными электронами не очнь велико, то происходят лишь такие переходы, пр кот. скачок совершается лишь одним е^-, правило отбора для кот. есть Dl=±1, (11). Из этой фор-лы следует, что кв. число полного момента L м/т изменятся на ±1, т. е. DL=±1, (12). Лишь в том случае, когда взаимод-е м/у е^- интенсивно, два и больше е^- м/т совершить переход DL=0 (12^а). Для спина DS=0, (13). Если скомбинировать (12,12^а,13) DJ=0, (14), с доп. правилом, что невозможен переход из сост-я J=0 в сост-е J=0. Если рассм-ть спектр водорода, то м/о выделить след. спектр. серии: серия Лаймана (переход с основного ур-я на выше лежащие), серия Бальмера (со второго ур-я на выше лежащие) и т. д. Используя правила отбора для l и условные обозначения сост-й е^-, переходы приводящие к возникновению серии Лаймана и/т вид: np®1s, n=2,3,…, серии Бальмера ns®2p, n=3,4,… Cост-е 1s наз-ся основным Н₂. Спектр поглощения д/н сост-ть из линий соотвеств-х переходам 1s®np, n=2,3,… Cпектры испускания щелочных металлов также сост-т из неск-х серий: главной, диффузной, основной и резкой, кот. явл-ся наиболее четкими. Главная серия набл-ся и при поглощении, резкая и диффузная сост-т соотв-но из резких и расплывчатых линий. Основная (серия Бальмера) сходна с серией Н₂. Для l справедливы те же правила отбора, что и в случае Н₂. Щелочно-земельные и/т 2 оптических (валентных е^-). Для спинового квантового числа вып-ся след. правило отбора: s=0,1. Если s=0, то ур-ни синглетны, если s=1, то уровни триплетны. Спонтанными переходами наз-ся самопроизвольные переходы атома из возбужд. сост-я в более низкое энергетич. сост-е. Время t за кот. число атомов нах-ся на данном энергет. уровне уменьшится в е раз наз-ся временем жизни возбужд. сост-я. Под естеств. спектральной шириной понимают величину характер-ю вел-ну разброса энергии Е в данном сост-и. э/м вакуум. Опыт Лэмба и Резерфорда. Лэмбовский сдвиг. Ур-и энергии атома Н₂ зависят от главного квант. числа n и полного квант. числа J. Поэтому 2 различных сост-я с одинаковыми числами n и J согласно теории Дирака д/ы обладать одинаковой энергией, причем их совпадение д/б точным. Лэмб и Резерфорд воспользовались тем, что уровень явл-ся метастабильным, а уровень нестабильным. Переход из в запрещен правилом отбора Dl=+1, поск-ку при этом переходе Dl=0. Переход из в разрешен (Dl=-1). Переход из метастаб. сост-я в нестабильное сопров-ся испусканием 2 фотонов. Что же касается разреш. перехода, то он относит-но метастаб-го сост-я соверш-ся практ-ки мгновенно. Пучок атомов Н₂ в основном сост-и получается в вольфрамовой печи в рез-те дисссоциации молекуляр. водорода. Если на мишень М попадают атомы в невозбуж. сост-и, то они не обладают энергией возбуждения, кот. могли бы передать электронам мишени. В рез-те электроны из металла не вырываются и никакого тока в цепи нет. Однако, часть электронов пучка м/о возбудить. Для этого пучок атомов водорода пересекается с пучком електронов П. В рез-те столк-я пучка с атомами происходит возбуждение атомов водорода. Те атомы, кот. возб-ся до сост-я , практ-ки мгновенно переходят в основное сост-е. Те же атомы, кот. возб-сь до сост-я попадают на мишень в метастаб. сост-и. При попадании на мишень возб. атом отдает свою энергию возб-я. Вырывая е^- из мишени. В цепи течет ток. По вел-не тока м/о судить о кол-ве атомов в метастабильном сост-и. Своими опытами Лэмб и Резерфорд доказали, что уровни и не совпадают м/у собой, как это предсказывалось Дираком. Анализ расхождения показал, что сдвиг энергетич. электронов в атомах обусловлен взаимод-ем электронов с флуктуациями вакуума. След-но вакуум обладает опред-ми физич. св-ми, кот. и проявились в опытах Лэмба и Резерфорда. По соврем. представлениям в вакууме происходит непрерыв. порождение и уничтожение фотонов. Фотоны, обуслов. флуктуациями вакуума, порождаются и поглощаются самим вакуумом. Их наз-ют псевдофотонами.Взаимод-е е^-с псевдофотонами вакуума порождает лэмбовский сдвиг уровней атомных е^-. Сущ-ет вакуум и других частиц. Н-р, электронно-позитронный вакуум- фон е^- в сост-ях с отриц. энергией. Благодаря вакууму осущ-ся взаимод-е частиц, кот. ведет к порождению одних и уничтожению других. В этом случае вакуум играет роль резервуара частиц из кот. черпаются новые и куда переходят исчезнувшие частицы. Т. об., вакуум явл-ся физ. средой с физ. св-ми, кот. проявл-ся в экспер-те. Правило Лапорта. Лапорт обнаружил, что в сложных атомах энергет. уровни м/б четными и нечетными, а испускание и поглощение фотона всегда приводит к таким переходам, при кот. нечетный уровень переходит в четный. (правило Лапорта).

 

Атом во внешнем поле

В отсутствии магнитного поля векторы орбитального и спинового моментов количества движения прецессируют вокруг полного момента количества движения . При помещении атома в постоянное однородное магнитное поле характер взаимодействия атома с полем будет различным в зависимости от того, является ли магнитное поле «слабым» или «сильным».

В слабом поле энергия взаимодействия орбитального и спинового моментов между собой (энергия спин-орбитального взаимодействия ) значительно больше энергии их взаимодействия с магнитным полем, имеющий порядок величины

>> (1)

( магнетон Бора, напряженность магнитного поля).

Другими словами, в слабом поле зеемановское расщепление (уровней, линий) значительно меньше естественного мультиплетного расщепления. В слабом магнитном поле вектор прецессирует вокруг направления магнитного поля . Его проекция на направление магнитного поля сохраняется. Частота этой прецессии значительно меньше, чем частота прецессии и вокруг .

В противоположном случае сильного поля

(2)

связь разрывается и векторы и прецессирует вокруг независимо. Вектор не сохраняется.

Под промежуточными магнитными полями подразумеваются поля, напряженность которых лежит между ее значениями для сильного и слабого полей. В промежуточных полях не сохраняется ни один из моментов количества движения

Слабое поле. В слабом поле энергия атома изменяется на величину, равную энергии взаимодействия полного магнитного момента атома с полем .

(3)

где фактор Ланде

(4)

квантовые числа, соответственно орбитальное, спиновое и полного момента количества движения,

магнитное квантовое число.

всего значений. (5)

Для ( состояния) .

Для (синглеты, состояние определяется только орбитальным моментом) .

Аналогично определяются орбитальное и спиновое магнитные квантовые числа.

значений (6)

значений (7)

Из формулы (3) видно, что при помещении атома в магнитное поле происходит расщепление уровня энергии на зеемановских подуровней. В спектре излучения появляются дополнительные (зеемановские) компоненты. Вычислим частоты, излучаемые атомом в магнитном поле:

где

энергия уровней атома при

- дополнительные энергии, приобретаемые атомом в магнитном поле.

,

- частота излучения в отсутствие магнитного поля.

 

Зеемановское расщепление определяется формулой:

, (8)

или, в волновых числах ,

. (9)

Спектральные переходы возможны только между подуровнями, магнитные квантовые числа, которые подчиняются правилам отбора

.

Различают простой и сложный эффекты Зеемана. Простой эффект может быть получен при как частный случай более общего (сложного) эффекта Зеемана (взаимодействие только орбитального момента с полем). Тогда и

0, (11)

или

,

 

т.е. для синглетных линий в магнитном поле наблюдается не более трех компонент.

Поляризация компонент зеемановского расщепления определяется правилами отбора по . Для линии, у которых в продольном поле наблюдается круговая поляризация ( компоненты), линии с линейно поляризованы вдоль поля ( компоненты). Отсюда ясно, что при изменении направления наблюдения будет изменяться и поляризация зеемановских компонент.

Сильное поле. Эффект Зеемана в сильном поле называется также эффектом Пашена-Бака. В сильном поле при связь разрывается, вектор не сохраняется и вектор и прецессируют вокруг независимо. В первом приближении (при пренебрежении остаточной связью) энергия атома в магнитном поле

(12)

и - орбитальный и спиновой магнитные моменты атома, - энергия центра тяжести мультиплета. Частоты, излучаемые атомом в магнитном поле, определяются из уравнения

.

Зеемановское расщепление

0,

так как

Или, в волновых числах

0,

Результат совпадает с полученным выше для простого эффекта Зеемана.

Более точный расчет требует учета остаточного взаимодействия, что приводит к появлению тонкой структуры зеемановских компонент. Величина ее значительно меньше расстояния между соседними компонентами расщепления, имеет порядок величины тонкой структуры и не зависит от напряженности магнитного поля.

 

 

Химическая связь, молекулы

При исследовании движ-я электронов координаты ядер изменяются настолько медленно, что их м\о считать неизменными (адиабатическое приближение).

Чтобы понять основные идеи метода адиабатического при­ближения, рассмотрим систему, состоящую из некоторого числа электронов с массой и атомных ядер с массой . Совокуп­ность координат всех электронов относительно центра инерции всей системы обозначим буквой , а совокупность координат ядер — буквой . Оператор Гамильтона, определяющий внут­реннее состояние, системы, можно записать в виде

где

—оператор кинетической энергии электронов (легкие частицы);

— оператор кинетической энергии ядер (тяжелые частицы; — оператор потенциальной энергии взаимодействия между всеми частицами.

Адиабатическое приближение основывается на предположе­нии, что оператор кинетической энергии тяжелых частиц можно рассматривать как малое возмущение. Мы обычно считали оператором возмущения часть опера­тора потенциальной энергии. Оператор (129,1) перепишем

Тогда в нулевом приближении, когда масса тяжелых частиц рассматривается бесконечно большой, задача отыскания стационарных состояний системы сводится к решению уравнения Шредингера

для фиксированных значений координат R тяжелых частиц. Индекс определяет совокупность квантовых чисел, характе­ризующих- стационарное состояние. В каждом таком состоянии, соответствующем определенному значению n, энергия системы и волновые функции зависят от координат тя­желых частиц R как от параметров. Таким образом, функции характеризуют состояния движения легких частиц при фиксированном значении координат R или при бесконечно мед­ленном изменении R (адиабатическое изменение).

Химические связи. Ионная связь (гетерополярной). Валентность химического элемента определяется числом электронов, которые нужно прибавить или отнять к его электронной оболочке, что бы получить ион, с электронной оболочкой ближайшего к нему инертного газа.

Так ион натрия и ион хлора можно рассматривать как заряженные атомы инертных газов и соответственно. Их электронные оболочки при этом полностью достроены. Разноименно заряженные ионы, притягиваясь, образуют молекулу . Образование разноименно заряженных ионов объясняется переходом электрона от натрия к хлору.

Электроны в молекулах с ионной связью разделены на группы, каждая из которых все время находится у своего ядра. Кулоновское притяжение разноименно заряженных ионов играет решающую роль в механизме ионной связи, но для того, что бы молекула была устойчивой необходимо добавить силы отталкивания, действующие на малых расстояниях.

Ковалентная связь ( гомеополярной). При сближении атомов на достаточное расстояние происходит обобществление валентных электронов. Квантовый эффект неразличимости тождественных частиц приводит к специфическому эффекту - обменному взаимодействию. Электрон каждого из атомов молекулы некоторое время проводит около другого атома, осуществляя, таким образом, связь между ними. Ковалентная связь обладает свойством насыщения.

Простейшей молекулой с гомеополярной связью явл-ся молекула водорода.

Обозначим:

- расстояние между ядрами,

— расстояние между электронами,

- расстояние между ядром А и электроном 1,

- расстояние между ядром В и электроном 2,

- расстояние между ядром А и электроном 2,

- расстояние между ядром В и электроном 1,

- расстояние между электроном 1 и электроном 2.

Потенц. энергия такой системы: U = В первом приближ-и (ядра считаем неподвижными) ур-е Шредингера имеет вид = 0.Здесь - оператор Лапласа, содержащий координаты одного электрона, а - оператор Лапласа, содержащий координаты другого электрона. Получающиеся из ур-я Шредингера собственные знач-я энергии оказ-ся зависящими от расстояния м\у ядрами R, т.е. E = E(R), причем в случаях параллельной и антипараллельной ориентации спинов электронов хар-р этой завис-ти существенно различен (см. рис.). Образование молекулы возможно лишь при сближении атомов с антипараллельными спинами. Асимптотическое знач-е , к к-рому стремиться энергия молекулы при для обеих изображенных на рис.кривых, одинаково и равно сумме энергий изолированных атомов.