Динамика абсолютно твердого тела.

Момент силы -величина, равная векторному произведению радиус-вектора, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

Тензор инерции и его главные и центральные оси.

Момент импульса этой точки равен по определению

L_x=J_xxw_x+J_xyw_y+J_xzw_z,

L_y=J_yxw_x+J_yyw_y+J_yzw_z,

L_z=J_zxw_x+J_zyw_y+J_zzw_z.

- собственно тензор

Теорема Гюйгенса.

момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями

Уравнение движения и уравнение моментов.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:

Физический маятник.

Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

- при малых углах

Кинетическая энергия твердого тела.

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.

 

 

Колебательное движение.

Собственные одномерные колебания - система имеет всего одну степень; свобод потенциальная энергия ; обобщенной координаты через . При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности по степеням достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка -

; ;

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем: случае вид заменить функцию просто ее значением при .

Выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания

.

Соответствующее этой функции уравнение движения , или ; общее решение или , где .

Энергия системы, совершающей малые колебания , подставив .

Гармонические колебания.

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы.

Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

где - амплитуды колебаний, - частоты, - сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения . Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (, радиан) и отрезка прямой (). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где ( - натуральное число) и

{\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }являются полиномами Чебышёва первого рода степени .

Биения — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание.