Лекция 13. Статистические распределения

Барометрическая формула; распределение Больцмана; понятие о вероятности; распределение Максвелла молекул по скоростям; распределение Максвелла - Больцмана.

1. Барометрическая формула

Хаотические молекулярные движения

приводят к тому, что частицы газа равномерно распределяются по объему сосуда, так что в каждой единице объема содержится в среднем одинаковое число частиц. В равновесном состоянии давление и температура газа также одинаковы во всем объеме. Но так обстоит дело только в том случае, когда на молекулы не действуют внешние силы. При наличии же таких сил молекулярные движения приводят к своеобразному поведению газов.

Возьмем, например, газ (воздух), находящийся под действием силы тяжести. Если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то все они под действием силы тяжести "упали" бы на Землю. Если бы отсутствовала сила тяжести, молекулы разлетелись бы по всему пространству.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рис. 13.1). Пусть у поверхности Земли (х = 0) давление равно Р_о, а на высоте х равно Р. При

Если же считать, что температура на всех высотах одна и та же (что, вообще говоря, неверно), то, интегрируя (13.3), находим

где С - постоянная интегрирования, которая находится из условия, что при х = 0 давление

Уравнение (13.6) называется барометрической формулой. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Так как давление газа P = nkT, то из (13.6) вытекает, что концентрация молекул на высоте х

изменении высоты на dx давление уменьшается на dP. Изменение же давление dP равно разности весов воздуха над единичной площадкой на высотах х и х 4- dx, то есть

где р — плотность воздуха, g — ускорение силы тяжести.

Из уравнения состояния

Разделяя в (13.2) переменные Р и х, получим:

Распределение Больцмана

Полученная выше формула относится к случаю, когда газ находится под действием силы тяжести. Величина mgx в формуле (13.7) представляет собой потенциальную энергию молекулы на высоте х. Нет никаких оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая-либо другая сила, а выражение для энергии будет иметь другой вид.

Поэтому можно сказать, что, если газ находится в каком-нибудь силовом поле, то число частиц в единице объема, обладающих потенциальной энергией U(x,y,z) определяется формулой

где По — концентрация молекул в окрестности точки, где U = 0.

Формула (13.8) называется формулой Больцмана. Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия при температуре Т обладают энергией U:

Умножим (13.8) на элемент объема dV = dxdydz и обозначим dN = ndxdydz — число молекул в элементарном объеме dV. Тогда

где N — полное число молекул.

Полученную формулу удобно трактовать с несколько иной точки зрения, пользуясь понятием вероятности, а именно, считать, что

где А — некоторая постоянная, есть вероятность для любой взятой наугад молекулы газа, существующего в равновесии при температуре Т, находиться в элементе. объема dV = dxdydz

вблизи точки с координатами (x,y,z) (рис. 13.2). Такая трактовка будет понятна из дальнейшего.

Понятие о вероятности

К понятию вероятности, в отличие от "достоверности", мы прибегаем в тех случаях, когда речь идет о случайных событиях, то есть таких, условия наступления которых по тем или иным причинам неизвестны и которые поэтому нельзя с уверенностью предсказать.

Например, бросая много раз монету, мы можем быть уверены, что приблизительно в половине случаев она упадет обращенной вверх стороной с гербом. Поэтому говорят, что вероятность выпадения герба равна 1/2. И это

будет тем вероятней, чем больше будет число бросаний.

Эти и подобные им опыты позволяют нам дать
следующее определение вероятности:

вероятностью события называется предел, к которому стремится отношение числа опытов, приводящих к его осуществлению, к общему числу опытов при беспредельном увеличении последнего.

Если из N опытов N' приводят к реализации интересующего нас события, то вероятность w этого события

Рассмотрим теперь еще один пример, который позволит нам осуществить одно из важных положений теории вероятностей и, кроме того, дать еще одно определение самой величины вероятности.

Пусть в ящике лежат 20 абсолютно одинаковых шаров, 5 из которых окрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Извлечем из ящика один шар. Спрашивается, какова вероятность того, что будет вынут белый шар? Так как для каждого шара (белого или черного) вероятность быть вынутым равна 1/20, а всего белых шаров пять (и нам все равно, какой из них будет вынут), то искомая вероятность равна сумме вероятностей для всех белых шаров:

Этот результат выражает одно из важных положений теории вероятностей — теорему сложения вероятностей, которая гласит: если w,_r w₂, w₃ и т.д. — вероятности нескольких исключающих друг друга событий, то вероятность того, что осуществится или событие 1, или 2, или 3 и т.д., равна сумме вероятностей всех этих событий:

Приведенный пример позволяется нам дать новое определение вероятности, несколько отличающееся от прежнего: вероятность данного события равна отношению числа случаев, благоприятствующих его наступлению, к общему числу возможных случаев, если все случаи равновозможны. В нашем примере с шарами число случаев, благоприятствующих наступлению события равно 5, а общее число возможных случаев - 20.

если суммируются вероятности всехбез исключения возможных событий. Теперь становится понятным, почему

Из этого определения вероятности ясно, что вероятность достоверного события равна единице, или

газа в элементе объема dV = dxdydz вблизи

точки с координатами (x,y,z), при этом молекула обладает потенциальной энергией U(x,y,z).

Нам остается изложить еще одно важное положение теории вероятностей — теорему умножения вероятностей. Эта теорема гласит: если имеются несколько независимых событий, вероятности которых w₁₍ w₂, w₃,..., то вероятность того, что наступит одновременно событие 1 и событие 2, и событие 3 и т.д., равна произведению вероятностей каждого из них, т.е.