Подставляя (13.32) в (13.30), получим

Среднеквадратичная скорость

Потенциальная энергия U(x,y,z). Это сходство, как оказывается, не является случайным.

Пусть газ находится в состоянии теплового равновесия при температуре Т во внешнем силовом поле U(x,y,z). Какова тогда вероятность dw того, что у любой, взятой наугад молекулы координаты будут находиться в интервале от x,y,z

 

Обратим внимание, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

Что согласуется с определением абсолютной температуры, данным в лекции 10.

Наиболее вероятная скорость молекулы v_HB находится из условия максимума функции распределения f(v):

Где

 

После несложных выкладок получим окончательно

Где

 

 

Сравнивая выражение (13.29), (13.35) и (13.38), находим соотношение между тремя характерными скоростями:

Распределение Максвелла-Больцмана

Сравним теперь полученное распределение Максвелла по компонентам скоростей

Лекция 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Явления переноса; теплопроводность; диффузия; вязкость; среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега; явления переноса с микроскопической точки зрения.

1. Явления переноса

В предыдущих лекциях мы рассматривали главным образом свойства тел, находящихся в состоянии теплового равновесия. Эта же лекция посвящена процессам, с помощью которых происходит установление равновесия. Такие процессы называют кинетическими или явлениями переноса. По своему существу все эти процессы, как приближающие тело к состоянию равновесия, являются необратимыми.

Пусть газ находится в состоянии равновесия. Это означает, что температура газа во всех частях занимаемого им объема одинакова, т.е. средняя кинетическая энергия поступательного движения

каким-нибудь образом одну часть газа нагреть, то тем самым равновесие будет нарушено. Но если после этого предоставить газ самому себе, то через некоторое время (время релаксации) равновесие восстановится — температура снова станет одинаковой во всех частях газа.

Очевидно, что это выравнивание температуры происходит благодаря непрерывным движениям молекул. В нагретой части газа быстрых молекул больше, чем в других его частях, но из-за молекулярных движений эти быстрые молекулы устремляются туда, где их меньше, и таким образом их число становится в среднем равным повсюду, т.е. происходит перенос энергии из той части газа, где она больше, туда, где она меньше. Этот процесс называется теплопроводностью.

Другой- пример. Как известно, в состоянии
равновесия не только температура газа Т, но и его
концентрация п (если, конечно, газ не находится
во внешнем силовом поле) везде одинакова. Если
теперь каким-то образом увеличить

концентрацию в одной части газа, оставляя температуру неизменной, то через некоторое время концентрация газа снова выравняется. Такое выравнивание концентрации вызывается, конечно, движением молекул и называется диффузией. При этом процессе происходит перенос массы газа.

Наконец, равновесие газа может быть нарушено тем, что одной из его частей сообщена скорость течения, отличная от скоростей течения соседних частей. И в этом случае благодаря переносу импульса молекул от быстро движущихся к медленно движущимся частям газа скорость течения всего газа станет через некоторое время одинаковой во всех его частях. Это явление называется внутренним трением или вязкостью. И в этом случае причиной

выравнивания скорости течения газа являются тепловые движения его молекул.

Рассмотрим эти три процесса более подробно.

2. Теплопроводность

Как мы уже знаем, если в разных местах газа температура различна, то возникает поток тепла из мест более нагретых в места менее нагретые, продолжающийся до тех пор, пока температура во всем теле не выравняется. Механизм процесса связан с беспорядочным тепловым движением молекул: молекулы из более нагретых мест газа, сталкиваясь при своем движении с молекулами соседних, менее нагретых участков, передают им часть своей энергии.

При рассмотрении явления теплопроводности предполагается, что это явление происходит в покоящейся среде. В частности, предполагается, что в среде отсутствуют какие-либо перепады давления, которые приводили бы к возникновению движения в ней.

тепла, проходящего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси ОХ. Из опыта следует, что

Предположим, что температура газа Т меняется только вдоль какого-либо одного направления, которое мы примем за ось ОХ.

— коэффициентом теплопроводности. Знак минус означает, что направление теплового потока противоположно направлению возрастания температуры: тепло распространяется в сторону уменьшения температуры.

Соотношение (14.1) называется законом Фурье.

3. Диффузия

молекул, пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную направлению движения вещества. Как и ранее

Диффузия газа, как мы знаем, возникает в том случае, если концентрация молекул газа в сосуде не является равномерной. Возникает поток вещества из областей с большей концентрацией в области с меньшей концентрацией. Назовем

предположим, что концентрация меняется только вдоль одного направления ОХ. Тогда

коэффициент диффузии, а знак минус означает, что поток движется от мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией. Соотношение (14.2) называется законом Фика.

Вскоре мы убедимся в справедливости законов Фурье и Фика для газов, рассматривая микроскопический механизм теплопроводности и диффузии, и попутно выясним микроскопическую природу коэффициентов к и D.

4. Внутреннее трение (вязкость)

Вязкость газов — это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев газа. Выравнивание скоростей соседних слоев газа, если эти скорости различны, происходит потому, что из слоев газа с большей скоростью движения переносится импульс к слою, движущемуся с меньшей скоростью.

Известно, например, что при течении газа вдоль трубы скорости разных слоев распределены так, как показано на рис. 14.1, где стрелки представляют векторы скорости движения газа.

единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси ОХ, определяется уравнением

знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости.

Коэффициент г| называется коэффициентом вязкости или коэффициентом внутреннего трения газа. Иногда коэффициент г| называют коэффициентом динамической вязкости, в отличие от коэффициента кинематической

При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоев. Это значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса слоя в единицу времени Следовательно, вязкость приводит к тому, что любой слой газа, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы.

Сила эта есть не что иное, как сила трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Отсюда и название: внутреннее трение. Уравнение (14.3) можно поэтому записать в виде:

 

Наибольшая скорость наблюдается в средней части трубы, и по мере приближения к стенкам скорость уменьшается, а слой, непосредственно прилегающий к стенкам трубы, покоится.

При таком течении происходит перенос импульса от центрального слоя газа, где скорость наибольшая, к слоям, движущимся с меньшей скоростью. Так как этот процесс связан с изменением импульса, то газ ведет себя так, как если бы на него действовала некоторая сила (ведь сила согласно закону Ньютона есть изменение импульса в единицу времени).

Количественно перенос импульса может быть описан так же, как мы описали перенос энергии в процессе теплопроводности. Пусть изменение скорости движения газа v происходит в направлении оси ОХ, которая перпендикулярна скорости движения газа (рис. 14.2).

Будем считать, что в направлении, перпендикулярном к оси ОХ, скорость движения во всех точках одинакова. Это означает, что скорость v является функцией только х. Тогда, как

где F — сила, действующая на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя газа. Коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на единицу площади при градиенте скорости, равном единице.

5. Среднее число столкновений и

средняя длина свободного пробега

молекул

Прежде чем переходить к выяснению микроскопической природы явлений переноса, остановимся на характере взаимодействия молекул газа несколько подробнее, чем мы это делали до сих пор.

Взаимодействие между молекулами газа
осуществляется путем их столкновений. В течение
большей части времени молекулы находятся
сравнительно далеко друг от друга и движутся как
свободные. Молекулы вступают во

взаимодействие лишь на короткие промежутки времени, на период их взаимных столкновений.

Сталкиваться молекулы могут самым различным образом. Строго говоря, при всяком пролетании молекул друг мимо друга на не слишком большом расстоянии они как-то изменяют свои скорости. Поэтому само понятие "столкновения" не имеет вполне точного смысла. Для того, чтобы сделать это понятие более определенным, мы будем понимать под столкновениями только те случаи, когда молекулы проходят настолько близко друг от друга, что взаимодействие существенно меняет их скорости как по величине, так и направлению.

Рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, из
которых одну будем считать неподвижной.
Представим себе, что неподвижная молекула
находится в некоторой плоскости, а движущаяся
молекула пересекает эту плоскость. Как было
сказано, мы говорим о столкновении молекул
только в тех случаях, когда они проходят
настолько близко друг от друга, что их движение
существенно меняется. Это значит, что
движущаяся молекула в нашем примере испытает
столкновение с неподвижной только если она
пересечет плоскость где-либо в пределах
определенной небольшой площадки, описанной
вокруг неподвижной молекулы. Эта "прицельная"
площадь, в которую должна попасть молекула,
называется эффективным сечением

столкновений; обозначим его буквой а.

Определим в качестве примера эффективное
сечение столкновений для молекул,

рассматриваемых как твердые шарики с радиусами г, Наибольшее расстояние между центрами двух шариков, на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2г. Поэтому "прицельная" площадь, в которую должна попасть молекула для того, чтобы произошло столкновение, есть круг радиусом 2г вокруг центра неподвижной молекулы. Таким образом, эффективное сечение столкновений в этом случае равно

В действительности, конечно, молекулы не являются твердыми шариками. Но поскольку сила взаимодействия двух молекул очень быстро убывает с увеличением расстояния между ними, то столкновения происходят лишь в том случае, если молекулы "задевают" друг друга. Поэтому соотношение (14.5) близко к своему экспериментальному значению.

Однако между молекулами действуют также и слабые силы притяжения, когда они находятся на больших расстояниях друг от друга. При понижении температуры скорости молекул газа уменьшаются, а тем самым увеличивается время, в течение которого длится столкновение двух молекул. Поэтому при понижении температуры эффективное сечение столкновений несколько увеличивается. Так, у азота и кислорода а увеличивается примерно на 30% при понижении температуры от 4- 100°С до - 100°С.

Столкновения молекул газа происходят совершенно беспорядочно. Поэтому и путь, проходимый молекулой между испытываемыми ею двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным. Можно,

 

однако, ввести понятие средней величины пробега
молекул газа между столкновениями. Это
расстояние, которое называют средней длиной
свободного пробега молекул, является важной
характеристикой молекулярно-кинетических

Среднее число столкновении, испытываемых молекулой газа в единицу времени, можно вычислить из весьма простых соображений, если считать молекулы твердыми шариками радиусом г. Пусть одна из молекул движется по прямой в газе, в котором частицы равномерно распределены по объему, так что в каждом кубическом метре находится п молекул.

Тогда наша движущаяся молекула, пройдя за одну секунду расстояние, равное ее средней

скорости (v), столкнется со всеми молекулами,

 

которые окажутся на ее пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в

цилиндре длиной (v) и с площадью основания, равной эффективному сечению столкновений а.

 

Следует учесть, что движется не одна
молекула, а все молекулы газа. Это значит, что в
выражение для z должна входить не абсолютная
(относительно стенок сосуда) скорость молекулы,
а ее скорость v_OTH относительно тех молекул, с
которыми она сталкивается. Можно показать,
приняв во внимание максвелловское

Тогда для среднего числа столкновений молекулы в единицу времени получим

или, поскольку мы условились считать молекулы шариками,

распределение молекул по скоростям, что

За время t молекула проходит некоторый зигзагообразный путь, равный (v)t. Изломов на этом пути столько, сколько произошло столкновений. Средняя длина свободного пробега равна, очевидно, отношению длины пути (v)t к числу испытанных на этом пути столкновений: