Распределение Максвелла по проекциям скорости.

Когда проводится экспериментальная проверка распределения Максвелла, то регистрируются молекулы, летящие в одну сторону. Чтобы получить функцию распределения молекул по проекциям скорости перепишем распределение Максвелла в виде

(2.32)

Эту вероятность можно представить в виде произведения , где каждый из сомножителей представляет собой распределение Максвелла для проекций скорости молекул. Очевидно, что

. (2.33)

Легко увидеть, что плотность вероятности симметрично относительно начала координат и имеет максимум при v_x = 0. Положительные и отрицательные значения v_x имеют одинаковую вероятность, поэтому наиболее вероятная проекция и средняя проекция скорости равны нулю Можно пояснить на простых картинках фазового объема различие в распределениях по абсолютным значениям скорости и по их проекциям, а также, почему наиболее вероятная проекция скорости равна нулю. Плотность числа точек наибольшая в центре системы координат скоростей, а затем падает по экспоненте - . Для абсолютных значений скорости фазовый объем растет с увеличением абсолютного значения скорости пропорционально ~ 4p v ² dv. Поэтому при малых скоростях распределение растет из-за фазового объема, достигает максимума и затем падает из-за быстрого падения плотности частиц (хотя фазовый объем по -прежнему растет).

Если рассматривать фазовый объем в распределении по проекциям скорости, то этот фазовый объем постоянен для всех значений v_x, и равен dv_x. Следовательно, вероятность больше там, где больше плотность частиц.

Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы, т.е. сосчитаем - долю кинетической энергии, относящуюся к движению по оси x. По определению

Так как

. (2.34)

Итак, кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна “половинке” kT, причем Тогда среднее значение полной энергии равно

. (2.35)

 

§2.3. Распределение Больцмана и его свойства.

В начале настоящей главы мы писали для классической подсистемы , и поскольку кинетическая энергия есть функция скоростей, а потенциальная энергия - функция координат, то вероятность для подсистемы иметь энергию Е равна . В силу независимости событий (произведение вероятностей) иметь определенные значения кинетической и потенциальной энергий можно рассматривать отдельно вероятность распределения частиц во внешнем поле

, (2.36)

Так как , то число молекул в объеме определяется формулой . Смысл множителя NB легко понять, если рассмотреть число частиц в единице объема, т.е. плотность (концентрацию) числа частиц . Очевидно, что произведение NB равно плотности числа частиц в точке, где U = 0. Тогда

. (2.37)

Эта формула носит название распределения Больцмана.

Если отсчет вести от точки, где , то распределение Больцмана принимает вид

. (2.38)

Примеры использования распределения Больцмана:

1) Распределение частиц в сосуде по высоте в однородном поле тяжести (). Для Земли поле тяжести однородно для небольших высот h << R₃ (R₃ - радиус Земли):

h

,

.

Получаем

mg

.

 

 

Здесь m - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная. Воспользовавшись связью между концентрацией и давлением, получаем барометрическую формулу Больцмана

(2.39)

Концентрация частиц убывает с высотой, причем концентрация более тяжелых частиц убывает с высотой быстрее. Это создает подъемную силу для более легких объектов (воздушные шары). Для более высоких температур распределение с высотой становится более равномерным. При этом полное число частиц сосуде N постоянно и равно . Здесь D S площадь сечения сосуда, а L его полная высота;

2) Распределение частиц во вращающемся сосуде. Имеем сосуд длины L, который вращается с угловой скоростью w вокруг одного из его оснований. Сила инерции, действующая на молекулу, находящуюся на расстоянии r от основания, равна , а потенциальная энергия молекулы равна . Распределение частиц описывается функцией ,которая показывает, что концентрация молекул растет с радиусом и достигает максимального значения у противоположного основания;

3) Средняя энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы.

Распределение Максвелла-Больцмана (Гиббса) позволяет получить среднюю энергию, приходящуюся на колебательную степень свободы. Этим мы подтвердим теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы и получим теплоемкость твердых тел при высоких температурах T (для которых применимо классическое описание).

Равновесное состояние кристалла - периодическое расположение атомов в пространстве. Однако, атомы не находятся в покое, а совершают малые тепловые колебания относительно положений равновесия. Пусть колебания совершаются вдоль оси 0 x, тогда энергия такого осциллятора равна:

(2.40)

где m масса атома, упругая постоянная. Статистическое описание атомов с энергией Е можно вести с помощью распределения Максвелла-Больцмана, которое для одного осциллятора имеет вид

. (2.41)

Во избежание путаницы здесь и далее вместо kT в знаменателе стоит T. Нормировочная постоянная A состоит из произведения двух постоянных (А = А ₁ А ₂₎, которые равны соответственно:

. (2.42)

Найдем стандартным образом среднюю энергию тела, колеблющегося вдоль оси x:

Второй интеграл в первом слагаемом есть по сути нормировочный интеграл и равен (А ₂)^-1. То же относится к первому интегралу во втором слагаемом, который равен (А ₁)^-1. Другие интегралы равны:

. (2.43)

Подставляя (2.43) в выражение для средней энергии, получаем

(2.44)

Итак, на одну колебательную степень свободы приходится энергия, равная в общепринятых единицах kT. Из расчета видно, что kТ /2 возникла из-за усреднения кинетической энергии колебательного движения, а k Т /2 - из-за потенциальной энергии колебательного движения. Здесь мы доказали теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме на каждую колебательную степень свободы приходится энергия, равная kТ.