Конденсация Бозе - Эйнштейна.

Особый интерес представляет собой случай низких температур. При понижении температуры параметр неограниченно возрастает, а дзета- функция при расходится. Температура, при которой называется критической температурой T_c конденсации Бозе - Эйнштейна. Известно, что , и из (3.19) находим

. (3.21)

Вблизи этой температуры заменять суммирование (3.15) интегрированием нельзя, так как низшие дискретны уровни вносят заметный вклад в сумму.

Рассмотрим . Так как , то должно выполняться условие .

Пусть - основное невырожденное состояние, тогда

.

Если теперь взять за начало отсчета энергии ( =0), то .

Отсюда следует, что , а для больших

.

При низких температурах T химический потенциал должен лежать вблизи нуля, поэтому для всех энергий им можно пренебречь.

Тогда для T < T_c:

, (3.22)

, (3.23)

. (3.24)

 

Для T > T_c внутренняя энергия имеет вид . Эта функция убывает с ростом температуры. Вблизи критической температуры теплоёмкость имеет острый излом (“cusp”).

 

§3.3. Идеальный газ Ферми - Дирака.

Для идеального газа фермионов (электронов) свободная энергия также определяется формулой (3.15), в которой числа заполнения могут принимать всего два значения = 0, 1. Поэтому

. (3.25)

Последнее выражение называется функцией распределения Ферми-Дирака, которая описывает распределение фермионов по энергиям. Для вычисления свободной энергии снова перейдем от суммирования к интегрированию и учтём, что для электронов s =2:

, (3.26)

. (3.27)

 

Рассмотрим некоторые свойства функции распределения Ферми-Дирака.

 

Рис.3.1. Заполнение состояний идеального ферми-газа при Т = 0 и при Т > 0.

Из (3.25) следует, что при Т = 0 все состояния с энергиями заполнены, а состояния с большими энергиями свободны.

Так как свободные электроны занимают в импульсном пространстве сферу радиуса p ₀, то

(3.28)

Величина

(3.29)

называется энергией (уровнем) Ферми, а – температурой Ферми. Для простых металлов эту температуру можно оценить, используя две последние формулы - . Оказалось, что, например, для меди (и других металлов в твердом состоянии) Говорят, что мы имеем сильно вырожденный электронный газ.

Найдем теперь плотность электронных состояний , т.е. число состояний с энергией в интервале . Этому интервалу в импульсном пространстве отвечает сферический слой толщиной dp. Полное число состояний в данном слое . Отсюда для квадратичного закона дисперсии получаем

= . (3.30)

Полная энергия на единицу объёма при T=0 определяется выражением

, а средняя энергия электрона в металле равна

. (3.31)

Для Т ≠ 0 функцияраспределения расплывается (см. Рис.3.1.), а плотность и внутреннюю энергию можно вычислить лишь приближенно. Энергетический интервал расплывания функции распределения порядка kT, что много меньше значения уровня Ферми . В результате для низких температур имеем:

,

. (3.32)

Отсюда следует линейная зависимость удельной теплоемкости металлов от температуры

 

§3.4. Статистический оператор (матрица плотности) и корреляционные функции.

Известно, что в квантовой механике каждой физической величине A соответствует оператор . Наблюдаемыми на опыте значениями этой величины являются квантово - механические средние

(3.33)

где – ортонормированные собственные функции гамильтониана системы:

. (3.34)

В (3.34) индекс n нумерует состояния, - совокупность независимых координат, - соответствующие собственные значения. Если оператор коммутирует с гамильтонианом , то система является системой его собственных функций, а наблюдаемые значения (3.33) будут собственными значениями оператора .

В квантовой статистической механике под наблюдаемой величиной понимается её среднее статистическое значение, которое определяется выражением

. (3.35)

В этом выражении - вероятность обнаружить систему в состоянии n, или статистический вес этого состояния. Очевидно, что должно выполняться условие

, (3.36)

которое означает, что полная вероятность всех вантовых состояний равна единице.

Введем квантово-статистический оператор (матрицу плотности), который в матричном представлении (x - представлении) имеет вид

(3.37)

Из ортонормированности волновых функций и (3.37) следует, что

(3.38)

Запишем теперь выражение для среднего значения оператора при помощи

матрицы плотности (3.37):

=

(3.39)

Здесь мы ввели матричное x - представление для оператора . Выражение (3.39) обычно записывают в виде

, (3.40)

где шпур берется по координатам x. Последняя запись удобна тем, что она не зависит от представления операторов и . В частности, под шпуром можно понимать сумму по собственным состояниям

(3.41)

В квантовой статистике это представление (n -представление) наиболее удобно. Распределение вероятностей для случая статистического равновесия выбирают в виде канонического распределения Гиббса:

(3.42)

(3.43)

Поэтому, в x – представлении статистический оператор в случае статистического равновесия даётся выражением

(3.44)

а сам оператор

(3.45)

Независимыми переменными в каноническом ансамбле Гиббса являются температура T, объём V и число частиц N. Поэтому, при суммировании по квантовым состояниям необходимо учитывать только состояния с заданным числом N, что существенно затрудняет процедуру взятия шпура. Чтобы не связывать себя условием постоянства числа частиц, удобно перейти к большому каноническому ансамблю, где независимыми переменными являются T, V и химический потенциал . Для этого в гамильтониан вводится дополнительный член

, (3.46)

и накладывается дополнительное условие t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>N</m:t></m:r></m:e></m:acc></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , из которого определятся химический потенциал . В этом случае статистический оператор имеет вид

(3.47)

где

(3.48)

В (3.47) величина называется термодинамическим потенциалом системы в переменных T, V и . Теперь в формулах для статистических средних значений можно суммировать по всем состояниям без ограничения на число частиц в системе.

Рассмотрим ансамбль систем с гамильтонианом , зависящим от времени. Матрица плотности в этом случае определяется выражением

(3.49)

где не зависят от t. Функции являются решениями нестационарного уравнения Шредингера, удовлетворяющими начальному условию

(3.50)

Таким образом, Используя уравнение Шредингера в матричном виде

s w:val="28"/></w:rPr><m:t>(x',t)dx'</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , (3.51)

где

(3.52)

и свойство эрмитовости гамильтониана , можно получить уравнение движения статистического оператора в матричной форме

. (3.53)

Это уравнение называется квантовым уравнением Лиувилля. В операторной форме оно имеет вид

. (3.53)

 

При помощи оператора можно вычислить среднее от произведения нескольких операторов

. (3.54)

Эти средние значения определяют корреляцию одной или нескольких физических характеристик системы частиц и называются корреляционными функциями.

В квантовой теории особое значение имеет корреляционная функция двух операторов

.

В случае равновесия

. (3.55)

Использование статистического оператора обеспечивает максимально полное статистическое описание квантовой системы.

 

Литература

1. А.Н. Матвеев, Молекулярная физика, М., Высшая школа, 1981.

2. Д.В. Сивухин, Курс общей физики, том 2 “Термодинамика и молекулярная физика”, М., Наука, 1979.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, том 5 “ Статистическая физика”, Часть 1, М., Физматлит, 2001.

4. Р. Фейнман, Статистическая механика, М., “Мир”, 1975.