![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Флуктуации числа молекул в объеме.
Ранее мы ввели дисперсию Среднее значение числа молекул
Чтобы сосчитать данную сумму, воспользуемся красивым формальным приемом. Запишем среднее значение через производную:
На самом деле p + q = 1, но такое значение подставлять сразу нельзя. Этим можно воспользоваться только после вычисления производной.
Интересно отметить, что среднее значение совпадает с наиболее вероятным значением n, т.е. соответствует равномерному заполнению всего сосуда. Когда V1 = V/2, получаем Относительная квадратичная флуктуация. Чтобы сосчитать квадратичную флуктуацию (дисперсию) необходимо знать Здесь мы воспользовались тем, что p + q = 1. Итак,
Сосчитаем теперь относительную квадратичную флуктуацию. Сначала запишем дисперсию, которая равна
и тогда для относительной квадратичной флуктуации получаем
Важно, что относительная квадратичная флуктуация убывает с ростом числа частиц в системе
Рассмотрим большой объем V1 ® V, тогда относительная флуктуация стремится к нулю (h ® 0), т.к. число частиц в объеме V фиксировано. При уменьшении объема V1 (V1 ® 0) относительная флуктуация возрастает, т.е. при V1 << V имеем Для Для газа, находящегося в нормальных условиях, Итак, в макроскопических системах статистические флуктуации незначительны. С большой точностью все величины равны своим средним значениям. Иначе говоря, подавляющую часть времени газ находится в состояниях, в которых отклонения числа молекул от среднего не превышают относительную флуктуацию.
§1.5.Статистическое распределение. Квазизамкнутость. Рассмотрим систему с огромным числом частиц как реальное макроскопическое тело. При этом о такой системе говорят как о системе с большим числом степеней свободы. Определение: числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Положение материальной точки (частица, молекула) задается тремя координатами (x,y,z или r,q,j), следовательно, она имеет три степени свободы. Для сложных систем, состоящих из большого числа частиц, различают поступательные, вращательные и колебательные степени свободы. Предположим, что система замкнутая, т.е. не взаимодействует ни с какими другими телами. Тогда состояние системы можно характеризовать энергией E, причем E = const. Но энергии отдельных кусочков системы могут не оставаться постоянными. Итак, рассматриваем замкнутую макросистему с большим числом степеней свободы (частиц). Выделим из этой системы некоторую подсистему, весьма малую по сравнению со всей системой, но тоже имеющей большое число частиц (т.е. с большим числом степеней свободы). Подсистема является тоже макросистемой, но она уже не является замкнутой, она испытывает всевозможные внешние взаимодействия со стороны остальных частей системы. Благодаря огромному числу степеней свободы остальных частей эти взаимодействия будут иметь весьма сложный и запутанный характер. Поэтому состояние рассматриваемой части системы будет меняться со временем также весьма сложным и запутанным образом. Точное решение проблемы о поведении такой системы является невыполнимой задачей. Необходим статистический подход описания поведения такой подсистемы. Он состоит в том, чтобы рассматривать различные состояния подсистемы как случайные величины, которые появляются в соответствии со своей вероятностью (как некоторое количество частиц в объеме V1, рассмотренное ранее). В самом деле, в силу сложности и запутанности внешних воздействий со стороны других частей системы, за достаточно долгий промежуток времени t выделенная нами подсистема пройдет через все возможные состояния. Вводя вероятность каждого состояния Статистическое распределение малой подсистемы не зависит: 1) от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, т.к. влияние этого начального состояния будет в течение времени t вытеснено влиянием остальных обширных частей макросистемы; 2) от начального состояния самой подсистемы, поскольку данная подсистема с течением времени проходит через все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального. Если статистическое распределение малой макроскопической подсистемы найдено, то можно вычислить вероятности различных значений любых величин, зависящих от состояния рассматриваемой подсистемы. Выделенная подсистема незамкнута, она подвергается непрерывному воздействию со стороны прочих частей системы, именно благодаря этому и будет иметь место статистическое распределение. Однако энергия взаимодействия для достаточно большой макросистемы (с большим числом частиц) будет меньше энергии, содержащейся внутри подсистемы. Обмен внутренней энергией (тепловое взаимодействие) происходит через ограничивающую подсистему поверхность, т.е. во взаимодействии с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы выделенной подсистемы, которые находятся вблизи поверхности. Обмен внутренней энергией - это поверхностный эффект. Наряду с этими взаимодействиями существуют взаимодействия отдельных частиц выделенной подсистемы друг с другом, которые являются уже объемным эффектом. С увеличением числа частиц в подсистеме объемные эффекты растут значительно быстрее, чем поверхностные, и при достаточно большом размере подсистемы ее взаимодействие с окружающими частями будет мало по сравнению с внутренними взаимодействиями. Подобные подсистемы трактуются как квазизамкнутые системы, т.е. как системы, которые, по крайней мере, в течение малых промежутков времени Dt ведут себя приблизительно так же, как и замкнутые системы. Таким образом, в течение достаточно малого промежутка времени всякая макроскопическая система, являющаяся малой частью замкнутой макроскопической системы, ведет себя приблизительно как замкнутая система, т.е. является квазизамкнутой. При этом практически все величины, представляющие физический интерес, становятся аддитивными. В частности, полная энергия системы представима в виде суммы Статистическое равновесие. Если замкнутая макросистема находится в состоянии, в котором для каждой ее части, также являющейся самой по себе макросистемой, физические величины с большой относительной точностью равны своим средним значениям, то рассматриваемая замкнутая система находится в состоянии статистического равновесия. Если система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую часть этого промежутка оно проводит в состоянии статистического равновесия. Если в какой-то начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, искусственно была выведена из него внешними воздействиями, а потом снова стала замкнутой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние статистического равновесия. Промежуток времени перехода в статистическое равновесие называется временем релаксации. §1.6.Фазовое пространство. Функция распределения. Рассмотрим идеальный газ (нет взаимодействия между молекулами). Полная энергия идеального газа есть сумма кинетических энергий отдельных молекул: Подсистему (молекулу) будем характеризовать координатами и скоростями (или импульсами): x, y, z, px, py, pz. Таким образом, 6 величин задают положение частицы и ее состояние.
Рис.1.1. Координатное и импульсное фазовые пространства. Введем понятие фазового пространства как пространства координат и импульсов (скоростей). Для подсистемы из одной молекулы это 6-ти мерное пространство. Различные состояния частицы можно изображать точками этого фазового пространства. С течением времени состояние частицы будет меняться, и тогда, соединяя все положения точек в различные моменты времени, получим фазовую линию в этом пространстве. Если система состоит из двух молекул, то их состояние задается 6+6 = 12 величинами, и мы имеем 12-ти мерное фазовое пространство. Рассмотрим фазовое пространство в общем случае. Пусть рассматриваемая макросистема имеет n степеней свободы, т.е. положение точек этой системы в пространстве характеризуется n координатами, которые обозначим за qi (i=1,2,3,...,n). Состояние системы тогда определяется n координатами qi и n скоростями Каждая система имеет свое фазовое пространство. Вероятность реализации различных состояний системы есть функция от координат и импульсов той системы. Координаты и импульсы в этом пространстве меняются непрерывном образом, а для непрерывных значений необходимо задавать элемент объема фазового пространства (как произведение координатной и импульсной частей объема):
Это малая область пространства, куда может попасть система (поскольку точка не имеет измерения). Для одной частицы имеем
Для n частиц
Рассмотрим вероятность попадания системы в элемент этого фазового объема для идеального газа. Вероятность нахождения частицы в объеме
Рис.1.2. Элементы объёмов в координатном и импульсном фазовом пространстве.
всем коллективом и считать, сколько частиц попало в данный элемент фазового объема. Итак, для координатной части вероятность
что вносит ограничение на элементы объема импульсов. В общем случае элемент фазового объема
где Свойства функции распределения. Рассмотрим основные свойства функции распределения. Во-первых, выполняется условие нормировки
Наконец, в-третьих, функция распределения обладает свойством стационарности. Рассматриваем подсистему в течение большого промежутка времени, который разобьем на большое число маленьких промежутков с моментами времени между ними t1, t2, t3,.... В эти моменты времени подсистема в фазовом пространстве изображается точкой. Количество этих точек в единице объема этого пространства (т.е. их плотность) будет пропорционально значению функции распределения Через момент времени Dt состояния всех одновременно рассматриваемых подсистем изменяется согласно уравнениям механики. Новые состояния подсистем (они совпадают с состояниями исходной подсистемы в моменты t1+Dt, t2+Dt,....) изобразятся в фазовом пространстве точками, которые с тем же правом, что и предыдущие, будут распределены с плотностью ~ Теорема Лиувилля. Всякий объем фазового пространства при своем движении соответствующего изменению состояния системы остается по величине неизменным. Другими словами, если в начальный момент времени фазовые точки qi, pi непрерывно заполняли некоторую область G в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в другую область Gt этого пространства, то, согласно теореме Лиувилля, соответствующие фазовые объемы равны между собой. Таким образом, движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости. Это означает, что плотности точек в этих объемах одинаковы и пропорциональны
Для того, чтобы функция распределения Таким образом, для идеального газа и вообще для любой квазизамкнутой системы функция распределения §1.7.Функция распределения по энергиям. Учитывая определяющую роль энергии, естественно перейти от вероятности попадания молекулы в объем Вероятность того, что энергия молекулы находится в диапазоне (E ¸ E + dE), равна по теореме о сложении вероятностей
где интегрирование ведется по шаровому слою от p до p + dp. Так как шаровой слой очень тонкий, то
Здесь введено обозначение Объем шарового слоя равен
Функция распределения молекул по их энергиям, следовательно, определяется соотношением Важно отличать друг от друга две функции распределения. Функция микрораспределения Функция макрораспределения Зависимость
Выражение (1.43) выполняется только тогда, когда
где a и b неизвестные пока постоянные. Итак, в общем случае
До сих пор рассматривали идеальный газ. Однако все эти рассуждения могут быть применены к произвольному макроскопическому телу (неидеальные газы, жидкость, твердое тело). Для этого надо выразить дифференциал dGE через дифференциал dE и ввести функцию макрораспределения подсистемы по энергиям:
§1.8.Энтропия. Флуктуации аддитивных величин.Итак, нам известно, что статистическое поведение и свойства замкнутой (квазизамкнутой) системы определяются аддитивными интегралами движения. Одним из наиболее важных свойств аддитивных величин является то, что их флуктуации в состоянии равновесия малы (
При выводе этой формулы мы воспользовались тем, что
Тогда для относительной квадратичной флуктуации получаем:
Как видно из этого соотношения, при больших значениях N относительные флуктуации ничтожно малы. Как и для распределения молекул по объему квазизамкнутая система живет подавляющую часть времени в состоянии с энергией близкой к средней энергии. Иначе, энергия равновесной подсистемы E практически постоянна во времени и равна своему среднему значению:
где Статистический вес.По порядку величины
Здесь Введем понятие статистического веса как числа микросостояний реализующих данное макросостояние. При статистическом описании тепловых свойств тел роль статистического веса играет фазовый объем
где Если подсистему со средней энергией
Энтропия.Удобнее вводить аддитивную величину, характеризующую макроскопическое состояние подсистемы (аддитивные величины обладают малыми флуктуациями). Энтропия подсистемы определяется соотношением
Энтропия дает информацию, как и статистический вес, о полном числе микросостояний подсистемы, которые реализуют данное равновесное состояние системы с энергией Из (1.51) получаем
Энтропия большой подсистемы, статистический вес которой равен произведению статистических весов малых подсистем
равна сумме энтропий её малых равновесных частей
Энтропия - аддитивная величина. Следовательно, для энтропии флуктуации также малы
Здесь первое слагаемое - приращение энтропии за счет изменения энергии тела, второе - за счет изменения объема тела.Во всех имеющихся в природе замкнутых системах энтропия никогда самопроизвольно не убывает, она увеличивается или остается постоянной |
||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 1310; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.124.74 (0.06 с.) |