Распределение Максвелла. Средняя, среднеквадратичная и наивероятнейшая скорости молекул.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если — функция плотности вероятности для модуля скорости, то: ,

где

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

.Вывод распределения по Максвеллу

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл^{[ источник не указан 563 дня ]}.
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую молекулу представляем как точку в системе координат ) встационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функцииплотности вероятности для всех направлений одинаковы.

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от и компонент.

- фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме .

Правая часть не зависит от и , значит и левая от и не зависит. Но и равноправны, значит левая часть не зависит также и от . Значит, это константа.

 

Теперь нужно сделать принципиальный шаг - ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

где Дж/К - постоянная Больцмана.

Все направления равноправны:

Чтобы найти среднее значение , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

Отсюда найдём :

Функция распределения плотности вероятности для (для и аналогично):

Рассмотрим теперь распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости лежат в шаровом слое радиуса и толщины , и - объем этого шарового слоя.

Так, мы получили - функцию плотности вероятности, которая и называется распределением Максвелла.

Наиболее вероятная скорость

наиболее вероятная скорость, — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению . Чтобы найти её, необходимо вычислить , приравнять её нулю и решить относительно :

Средняя скорость

Подставляя и интегрируя, мы получим

Среднеквадратичная скорость

Подставляя и интегрируя, мы получим

 

Обратимые и необратимые процессы, примеры. Второе начало термодинамики.

Тепловые процессы можно разделить на обратимые и необратимые. Обратимым называется процесс, который можно провести в противоположном направлении через все те же самые промежуточные состояния.

Обратимый процесс (то есть равновесный) — термодинамический процесс, который может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, проходя через одинаковые промежуточные состояния, причем система возвращается в исходное состояние без затрат энергии, и в окружающей среде не остается макроскопических изменений.

Обратимый процесс можно в любой момент заставить протекать в обратном направлении, изменив какую-либо независимую переменную на бесконечно малую величину.

Понятия равновесного состояния и обратимого процесса играют большую роль в термодинамике. Все количественные выводы термодинамики применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

Необратимым называется процесс, который нельзя провести в противоположном направлении через все те же самые промежуточные состояния. Все реальные процессы необратимы. Примеры необратимых процессов: диффузия, термодиффузия,теплопроводность, вязкое течение и др. Переход кинетической энергии макроскопического движения через трение в теплоту, то есть во внутреннюю энергию системы, является необратимым процессом.

«Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горячему» ^[

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая что коэффициент полезного действия не может равняться единице, поскольку для кругового процесса температура холодильника не должна равняться 0.

Распределение частиц во внешнем силовом поле (распределение Больцмана).

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

(11.2)

минус - т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

(11.3)

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

(11.4)

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

(11.5)

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.