Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам. Теплоемкость идеального газа.

Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил

Первое начало термодинамики:

§ при изобарном процессе

§ при изохорном процессе (A = 0)

§ при изотермическом процессе (Δ U = 0)

Здесь — масса газа, — молярная масса газа, — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, — давление,объём и температура газа соответственно, причём последнее равенство верно только для идеального газа.

Молярная теплоемкость — теплоемкость 1 моля идеального газа.

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть . При изменении объема температура и давление меняются, то есть . Следовательно, теплоемкость идеального газа в адиабатическом процессе также равна нулю: С_адиаб=0.

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть . При изменении объема газу передается (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоемкость идеального газа стремится к бесконечности:

Изохорный

В изохорическом процессе постоянен объем, то есть . Элементарная работа газа равна произведению изменения объема на давление, при котором происходит изменение (δ A = δ VP). Первое Начало Термодинамики для изохорического процесса имеет вид:

А для идеального газа

Таким образом,

где i — число степеней свободы частиц газа.

Изобарный

В изобарном процессе ():

C_P=δQ/νΔT=C_V+R=((i+2)/2)*R

Вывод формулы для теплоемкости в данном процессе

Согласно 1 началу термодинамики существует 2 способа изменить внутреннюю энергию тела (в нашем случае идеального газа): передать ему тепло или совершить над ним работу.

dU=δQ+δA, где δA — работа окр. среды над газом.

δA_{окр.среды}=-δA_газа

δQ=dU+δA_газа

В расчете на 1 моль:

С=δQ/ΔT=(ΔU+pΔV)/ΔT

ΔU=C_V*ΔT

C=C_V+(pΔV/ΔT)_{в данном процессе}

 

Адиабатный и политропные процессы.

Адиабатический процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не получает и не отдаёт тепловой энергии.

Серьёзное исследование адиабатических процессов началось с XVIII века^[1].

Адиабатический процесс является частным случаем политропного процесса. Адиабатические процессы обратимы, если их проводить достаточно медленно (квазистатически). В общем случае адиабатический процесс необратим. Некоторые авторы (в частности, Л. Д. Ландау) называли адиабатическими только квазистатические адиабатические процессы^[2].

Если термодинамический процесс в общем случае являет собой три процесса - теплообмен, совершение системой (или над системой) работы и изменение её внутренней энергии^[4], то адиабатический процесс в силу отсутствия теплообмена (Δ Q = 0) системы со средой сводится только к последним двум процессам^[5]. Поэтому, первое начало термодинамики в этом случае приобретает вид

, где — изменение внутренней энергии тела, — работа, совершаемая системой, — теплота, полученная системой.

Энтропия (S) системы в обратимом адиабатическом процессе не меняется:

, где T - температура системы.

Благодаря этому адиабатический процесс может быть составной частью обратимого цикла.

Вывод уравнения

Согласно закону Менделеева — Клапейрона^[5]:

Продифференцировав обе части, получаем:

(3)

Если в (3) подставить dT из (2), а затем dU из (1), получим:

,

или, введя коэффициент :

.

Или

,

что после интегрирования даёт:

.

Окончательно имеем,

,

что и требовалось доказать.

При адиабатическом процессе показатель адиабаты равен , где R — универсальная газовая постоянная

Политропный процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость c газа остаётся неизменной. Предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс и адиабатный процесс. В случае идеального газа изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропическими.

Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

pVⁿ = const

где величина называется показателем политропы.

В зависимости от процесса можно определить значение n:

1. Изотермический процесс: n = 1, так как PV ¹ = const, значит PV = const, значит T = const.

2. Изобарный процесс: n = 0, так как PV ⁰ = P = const.

3. Адиабатный процесс: n = γ, это следует из уравнения Пуассона.

Здесь γ — показатель адиабаты.

4. Изохорный процесс: , так как , значит P ₁ / P ₂ = (V ₂ / V ₁) ⁿ, значит V ₂ / V ₁ = (P ₁ / P ₂)^{(1 / n )}, значит, чтобы V ₂ / V ₁ обратились в 1, n должна быть бесконечность.