Мгновенная и средняя скорость

Полезно отличать понятие средней скорости перемещения от понятия средней скорости пути, равной отношению пройденного точкой пути ко времени, за которое этот путь был пройден. В отличие от скорости перемещения, средняя скорость пути — скаляр.

Когда говорят о средней скорости, для различения, скорость согласно выше приведённому определению называют мгновенной скоростью. Так, хотя мгновенная скорость бегуна, кружащего по стадиону, в каждый момент времени отлична от нуля, его средняя скорость (перемещения) от старта до финиша оказывается равной нулю, если точки старта и финиша совпадают. Заметим, что при этом, средняя путевая скорость остаётся отличной от нуля.

2.1. Кинематика частицы

Если размеры тела при описании его движения несущественны, то его движение можно рассматривать как движение частицы в пространстве. Это самая простая модель для описания реального тела. Так как в дальнейшем будут рассматриваться движения тела обладающего массой, но в пренебрежении ее размерами, внутренней структуры и формы, то введем в рассмотрение единый термин частица, понимая под ним материальную точку. Существует три способа описания движения частицы: векторный (геометрический), координатный и естественный. Рассмотрим их последовательно, учитывая, то аналогичное построение описания движения частицы будет применимо в релятивистском случае.

Векторный способ. В этом способе положение интересующей нас частицы А задают радиусом-вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А. Под системой отсчета в механике понимают совокупность: тело отсчета, способ измерения расстояний ("линейка") и способ измерения времени ("часы"). При движении частицы А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени t.

Рис. 2.1. Векторный способ описания движения частицы

Геометрическое место точек, где тело побывало за время своего движения, называется траекторией частицы А. При векторном способе описания траекторией будет положение концов радиус-вектора во все моменты времени.

Введем понятие скорости частицы. Скорость характеризует быстроту движения частицы. Пусть за промежуток времени точка А переместилась из точки 1 в точку 2 (рис. 2.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения частицы А представляет собой приращение радиус-вектора за время (t: . Отношение называют средним вектором скорости < > за время (t. Вектор < > совпадает по направлению с . Определим теперь вектор скорости частицы в данный момент времени как предел отношения при (t® 0, т. е.

(2.1)

Это значит, что вектор скорости частицы в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения частицы А (как и вектор ). Модуль вектора равен

 

Заметим, что в общем случае модуль приращения радиус-вектора не равен изменению модуля радиус-вектора . Например, если меняется только по направлению при движении частицы по окружности, то но .

Движение частицы характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет скорость изменения вектора скорости со временем:

(2.2)

т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением вектора - приращением вектора за время dt. Модуль вектора определяется аналогично модулю вектора . Пусть, например, радиус-вектор частицы зависит от времени t по закону

,

где и - постоянные векторы. Найдем скорость и ускорение частицы:

Модуль вектора скорости

.

Таким образом, зная зависимость , можно найти скорость и ускорение частицы в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти и , зная зависимость от времени ускорения ?

Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости недостаточно, так как необходимо еще знать начальные условия, а именно - скорость и радиус-вектор частицы в некоторый начальный момент . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простой случай, когда при движении ускорение частицы остается постоянным.

Определим сначала скорость частицы . Согласно (2.2), за интервал времени dt малое приращение скорости . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, определим конечное приращение вектора скорости за это время:

.

Но величина - это еще не искомая скорость . Для нахождения , необходимо знать скорость в начальный момент времени . Тогда , или

Аналогично вычисляется и радиус-вектор частицы. Согласно (2.1), за интервал времени dt малое приращение радиус-вектора . После интегрирования этого выражения с учетом определенной выше зависимости , определим приращение радиуса-вектора за время от t = 0 до t:

.

Для нахождения самого радиус-вектора необходимо знать положение частицы в начальный момент времени . Тогда ,

или

 

.

Рассмотрим в качестве примера движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью . Если считать, что камень движется с постоянным ускорением , то его положение относительно начальной точки движения () определяется радиус-вектором

 

.

т. е. в этом случае

представляет собой сумму двух векторов, как показано на рис. 2.2.

.

Рис. 2.2. Суммирование векторов перемещения частицы

Для полного решения задачи о движении частицы - определения скорости и положения в зависимости от времени необходимо знать зависимость (t) и начальные условия, т. е., скорость и положение частицы в начальный момент времени.

Координатный способ. В этом способе с телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор вида системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить математическое решение задачи. Для простоты рассмотрим декартову систему координат x,у,z. Изучение движений частицы в других координатах оставим для задач.

Запишем проекции радиус-вектора на оси координат. Вектор определяет положение интересующей нас частицы относительно начала координат О в момент t:

Закон движения частицы - это зависимость координат от времени. Он задает положение частицы в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Cпроектировав (2.1) и (2.2), например, на OX, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

,

(2.3)

где dx- проекция вектора перемещения на ось х,

 

(2.4)

здесь - проекция вектора приращения скорости на ось х. Такие же соотношения получаются для у- и z-проекций соответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.

Зависимости полностью определяют движение частицы. Зная их, можно найти не только положение частицы, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости определяется формулой

 

,

а направление вектора задается направляющими косинyсами по формулам:

(2.5)

где (, (,(- углы между вектором и осями х, у, z соответственно. Направляющие косинусы всегда удовлетворяют соотношению . Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения .

С помощью закона движения можно найти траекторию частицы, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения частицы и т.д.

Нахождение скорости и закона движения частицы по заданному ускорению называется обратной задачей. Ее решение проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени). Задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты частицы в начальный момент времени.

Естественный способ. Его применяют в том случае, когда заранее известна траектория частицы. Положение движущегося тела определяют дуговой координатой l - расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета точки О (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Естественный способ описания движения

При этом произвольно выбирают положительное направление отсчета координаты l (например, как показано стрелкой на рисунке 2.3).

Движение частицы задано полностью, если определена ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты l и закон движения частицы, т. е. зависимость .

Рассмотрим как в этом способе описания определяется скорость частицы. Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты l (рис. 2.3). Ясно, что - переменный вектор: его направление зависит от l, хотя длина этого вектора остается неизменной. Вектор скорости частицы А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно выразить так:

(2.6)

где - проекция вектора на направление вектора , причем - величина алгебраическая. Кроме того, ясно, что

Рассмотрим теперь ускорение частицы . Продифференцируем (2.6) по времени:

Преобразуем последнее слагаемое этого выражения:

 

(2.7)

Рассмотрим приращение вектор на участке dl (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Определение радиуса кривизны траектории

Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними можно представить в виде дуги окружности с центром в некоторой точке О. Ее называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус R соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

Как видно из рис. 2.4, угол , откуда , причем при . Если ввести единичный вектор нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, то последнее равенство запишется в векторном виде:

 

(2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7), а затем полученное выражение - в (2.6), получим в итоге выражение для вектора ускорения

 

(2.9)

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением , а второе - нормальным (центростремительным)

(2.10)

В итоге полное ускорение может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений.

Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора

Точка А движется по дуге окружности радиусом R (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Определение полного ускорения частицы

Ее скорость зависит от дуговой координаты l но закону где постоянная (определите эту константу самостоятельно). Найдем угол (между векторами полного ускорения и скорости частицы как функцию координаты l.

Из рис. 2.5 видно, что угол (можно определить из соотношения составляющих полного ускорения по формуле . Значения компонент вектора полного ускорения и . Вычисляются по формулам:

Отсюда получаем .