ТОП 10:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела



Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых г равны расстоя­ниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ1. В данном случае путь ds можно определить как произве­дение угла поворота на радиус окружности, т. е.

ds = r * dφ. 10

Линейная скорость определится как производная пути по вре­мени

 

v = ds/dt

Подставив вместо ds его значение по (10), получим

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r* dφ/dt = 11

 

 

Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вра­щающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим

 

v = r =

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения

 

at = dv/dt = d(rω)/dt = r * dω/dt =

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата ско­рости к радиусу окружности

an = v2/r

Пример7. Скорость точки за 15 с. возрастает от 20 км/ч до 80 км/ч. Определить какой путь пройдет точка за время разгона и каково будет ее ускорение в конце 15 – ой секунды если движение происходит по дуге r = 50 м.

 

Дано: v0

t = 15 c

v0 = 20 км/ч = 5,6 м/с

v1 = 80 км/ч = 22,3 м/с R

r= 50 м

Определить S; at; an v1

at = v – v0 /t = 22,3 – 5,6 /15 = 1,12 м/с

ап = v 2/r = 22,32 / 50 = 10 м/с2

a = 2t +a 2n = √1,122 + 102 = √1,25 + 100 = 10м/с2

S = (v0 + v) * t /2 = (5,6+22,3) * 15 / 2= 210м

 

Пример 8. Автомобиль движется со скоростью v = 54 км/ч при торможении он получает замедление at = - 0,5 м/с2. Найти какой путь он прошел от начала торможения до полной остановке и сколько времени продолжалось торможение.

Дано:

v0 = 54км/ч = 15 м/с v0 v1

at = -0,5 м/с2

Определить S;t

at = v – v0 /t =>

t = v – v0 / at = 0-15 / -0,5 = 30 c

S = (v0 + v) * t /2 = (15+0)*30 / 2 = 225м

Пример 9. На пути 600 м скорость точки уменьшается с 30 до 10 м/с. Определить время этого движения, а также полное ускорение в начале и в конце движения если точка двигалась по дуге r = 400м.

Дано:

S = 600 м v0

v0 = 30 м/с

v1 = 10 м/с

r = 400 м r

Определить t;a1;a2 v1

S = (v0 + v) * t /2 =>

t = 2S / v0 + v1 = 2 * 600 / 30+10 = 30c

at1 = v – v0 /t = 10-30 / 30 = - 0,67 м/с2

ап1 = v 02/r = 302/400 = 2,25 м/с2

a1 = 2t1 +a 2n1 = √ -0,672 + 2,252 = √0,45 + 5,062 = 2,35 м/с2

аt1= аt2= - 0,67 м/с2

ап2 = v 12/r = 102/400=0,25м/с2

a2 = 2t2 +a 2n2 = √ -0,672 + 0,252 = √0,45 + 0,062 = 0,715 м/с2

Пример 10. Точка начала прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя и ч/з 5сек приобрела скорость 10 м/с с этого момента точка стала двигаться равномерно по окружности r = 10 м, ч/з 15 сек движение по окружности точка внезапно остановилась. Определить: 1. Путь пройденный точкой за все время движения; 2. Среднюю скорость на этом пути; 3. Ускорение точки на прямолинейном и криволинейном участке пути.

Дано: 0 at v1 1

v0 = 0

t1 = 5 с v1 = v2

v1 = 10 м/с r

r = 10 м an

t2 = 15 с

Определить S; v; at1; an2

S1 = vср * t1 = v1* t1 / 2 = 10 * 5 / 2 = 25м ( т. к. равномерноускоренное)

S2 = v2 * t2 = 10 * 15 / 2 = 150м( т.к. равномерное)

S = S1 + S2 = 25 + 150 = 175 м

vср = S / t1 + t2 = 175 / 20 = 8,75 м/с = 8,75 * 3,6 = 31,5 км /ч

at1 = v1 / t1 = 10 / 2 = 2 м/с

an = v2 / r = 102 / 10 = 100 / 10 = 10 м/с

Пример 11. Автомобиль, имея начальную скорость 72 км/ч проходит за 20 сек путь 600 . Найти скорость и ускорение (полное) в конце 20 сек, считая движение равнопеременным по дуге окружности радиуса r = 1200 м

Дано:

v0 = 72 км/ч= 20 м/с

t = 20 с

S = 600 м r

r = 1200 м

Определить v; a

S = v0 + v /2 * t =>

v = 2S / t – v0 = 2 * 600 / 20 – 20 = 40м/с

at = v – v0 /t = 40 – 20 / 20 = 1 м/с2

ап = v 2/r = 402 / 1200 = 1,3 м/с2

а = √аt2 + an2 = √12 + 1,32 = 1,6 м/с2

Пример 12. Точка прошла за время 20 сек с касательным ускорением at = 4 м/с2 путь 1400 м по дуге r = 100 м. Определить v0 , а

 

Дано:

at = 4 м/с2

t = 20 с

S = 1400 м r

r = 100 м

Определить v0; a

S = v0 * t + at * t2 / 2 =>v0 = S - at * t2 / 2 /t = 1400 – 4* 202/20 = 30м/с

at = v – v0 /t =>v = at * t + v0 = 4 * 20 + 30 = 110 м/с2

ап = v 2/r = 1102 / 100 = 121 м/с2

а = √аt2 + an2 = √1212 + 42 = 121,1м/с2

Пример 1. Равномерно вращающееся тело делает 10800 оборотов в час. Определить его угловую скорость.

Дано:

n = 10800 об/час = 10/800 : 60 = 180 об/мин ω = π * n / 30 = 6 π рад / сек

___________

ω - ?

Пример 2. Угловая скорость равномерно вращающегося тела ω = 8 рад / сек. Определить сколько оборотов в час делает тело.

Дано:

ω = 8 рад / сек

__________ ω = π * n / 30 => n = 30 * ω / π=76,4 об/мин = 60 * 76,4 = 4585 об/ч

n - ?об/ч

 

Пример 3. Расстояние от Луны до Земли рано 384000 км. Найти скорость движения Луны по своей орбите, если полный оборот около Земли она совершает в 27 суток. Орбиту Луны принять за окружность, а движение считать равномерным.

Дано: 27 суток = 27 * 24 * 3600 = 2332800 сек

r = 384000 км Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 384000000м = 2411520000 м

t = 27 суток v = s / t = 2411520000 / 2332800 = 1034м / c

_________

v - ?

 

Пример 4.

Дано:

r = 149600000 км – расстояние от земли до солнца

t = 365 дней = 365 * 24 * 3600 = 31536000 сек

_________

v - ? – земли вокруг солнца

Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 149600000000м

v = s / t = 29791 м / сек

Пример 5. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, в первые 10 сек совершает 30 оборотов. Какова его угловая скорость по истечению 5 сек?

Дано:

t1 = 10 сек φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 188,4 рад

φ = 30 об

t2 = 5 сек φ = ω * t / 2 => ω = 2φ / t = 2 * 188,4 / 10 = 37,68 рад/сек(при10 сек)

ω0 = 0

___________

ω - ? ω = 37,68 / 2 = 18,84 рад / сек (при 5 сек)

 

 

Пример 6. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 4800 об в первые 2 мин. Найти угловое ускорение вала.

 

Дано:

φ = 4800 об φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 4800 * 2 * 3,14 = 30144 рад.

ω0 = 0

t = 2 мин φ = ε * t2 / 2 => ε = 2φ / t2 = 2 * 30144 / 1202 = 4,18 рад / сек2

__________

ε - ?

Пример 7. Колесо начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, Через 20 мин после начала движения колесо имело угловую скорость, соответствующую 240 об / мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 20 мин.

Дано:

ω0 = 0

t = 20 мин φ = ω * t / 2 = 240 * 20 / 2 = 2400 об

ω = 240 об / мин

_________

φ - ?

 

Пример 8. Колесо, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = 4π рад/сек, было затем отключено от привода, поддерживавшего заданную рабочую скорость вра­щения. Сделав 25 оборотов, колесо вследствие трения в под­шипниках остановилось. Полагая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение колеса.

Дано:

ω0 = 4π рад/с ε = ω – ω0 / t = 0 - 4π / t = - 4π / t

φ = 25 об φ = φоб * 2π = 25 * 2 * 3,14 = 157 рад

ω = 0 φ = ω + ω0 / 2 * t = ω0 * t / 2 => t = 2φ / ω0 = 2 * 157 /4π = 25 сек

_________

ε - ? ε = -4π / t = 4 * 3,14 / 25 = - 0,5 рад / сек2

Пример 9. При посадке самолета пропеллер вращается с угло­вой скоростью, соответствующей п = 900 об/мин. После выключения мотора пропеллер сделал до остановки 60 обо­ротов. Считая вращение пропеллера после выключения мо­тора равнозамедленным, определить, сколько времени про­шло с момента выключения мотора до остановки. Опреде­лить ускорение пропеллера.

Дано:

n = 900 об/мин φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 60 * 2 * 3,14 = 376,8 рад

φ = 60 об ω0 = π n / 30 = 3,14 * 900 / 30 = 94,2 рад / сек

ω = 0 φ = ω + ω0 / 2 * t = 0 + ω0 * t / 2 => t = 2φ / ω0 = 2 * 376,8 / 94,2 = 8 сек

_________

t - ? ε - ? ε = ω – ω0 / t = 0 – ω0 / t = 94,2 / 8 = 11,775 рад / сек2

Пример 10. Маховое колесо радиуса R = 2 м вращается равно­ускоренно из состояния покоя; через t =10 сек точки, ле­жащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 50 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 25 сек.

Дано:

r = 2 м v1 = r * ω => ω = v / r = 50 / 2 = 25 рад/сек

ω0 = 0 ε = ω1 / t1 = 25 / 10 = 2,5 рад/сек2

t1 = 10 с ε = ω2 / t2 => ω2 = ε * t = 2,5 * 25 = 62,5 рад / сек

v1 = 50 м/с v2 = r * ω2 = 2 * 62,5 = 125 м/с

t2 = 25 с at = r * ε = 2 * 2,5 = 5 м/с2

v2 - ? an - ? at - ? an = v22 / r = 1252 / 2 = 7812,5м/с2

 

Пример 11. Точка пробегает в минуту 200 раз окружность, диаметр которой 3 м. Вычислить ускорение точки.

Дано: ω = π n / 30 = 3,14 * 200 / 30 = 20,9 рад/сек

n = 200 об/мин v = r * ω = 1,5 * 20,9 = 31,4 м/с

D = 3м an = v22 / r = 31,42 / 1,5 = 660м/с

________

an - ?

Пример 12. Частота вращения маховика составляет 300 об/мин затем маховик бал заторможен и ч/з 3 с частота его вращения уменьшилась до 120 об/мин. Определить ч/з сколько времени маховик остановится и сколько оборотов он совершит от начала торможения до полной остановки.

Дано:

n0 = 300об/мин ω0 = πn0 / 30 = 300π / 30 = 10π рад/сек

t1 = 3c ε = const ω1 = πn1/ 30 = 120π / 30 = 4π рад/сек

n1 = 120об/мин ε = ω1 - ω0 / t1 = 4π - 10π / 3 = - 2π рад/сек2

n2 = 0 ω2 = ω0 + ε t2 т к ω0 = 0 то =>

ω2 = 0 - ω0 = ε t2 => t2 = - ω0 / ε = -10π / - 2π =

_________ φ = ωср * t = (ω0 + ω2) * t /2 = 10π * 5 / 2 = 25π рад

t2 - ? φ - ? φоб = φ / 2π = 25π / 2π = 12,5 об

Пример 13. Ротор эл двигателя делает 2700 об/мин. После выключения ротор останавливается совершив 675 об. Определить время вращения ротора с момента выключения до полной остановки.

Дано:

n0 = 2700об/мин ω0 = πn0 / 30 = 2700π / 30 = 90π рад/сек

t1 = 3c φоб = φ / 2π => φ = 2π φ0 = 2π675 = 1350 рад

n1 = 0 φ = ωср * t = (ω0 + ω1) * t /2

ω1 = 0 t = 2φ / ω0 + ω1 = 2 * 1350 / 90π = 30с

φ = 675 об

_________

t - ?

 

Пример 14. Тело при вращении с постоянным угловым ускорением 24 рад/с2 в течении 105 сек сделано 2100 об. Определить угловую скорость тела в начале и конце равнозамедленного вращения.

Дано:

t = 105 сек φ = 2π φ0 =2π * 2100 = 4200π рад

φоб = 2100 об φ = ω0 * t + ε* t2 / 2 => ω0 = φ - ε* t2 / 2 / t =

ε = 24 рад/с2 4200 – 24 * 1052 / 2/105 = 1220 рад/сек

--------------

ω0 - ? ω - ? ω = ω0 + ε * t = 1220 + 24 * 105 = 3740 рад/сек

 

Подставив в выражение нормального ускорения ап = v 2 / r зна­чение скорости v = ωr, получим

an = v2/r = (ωr)2/r = 2

 

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях at и ап (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим

 


Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

 


Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, тоee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траек­тории по некоторому закону s = f (t). За промежуток времени Δt точка М переместится в положение М1 по дуге ММ1. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М1. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt , то уменьшается и пройденный путь Δs, т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению скорости в заданный момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 


Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, тоee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Часто бывает необходимо определить среднюю ско­рость неравномерного движения за некоторый промежуток времени, т. е. скорость такого воображаемого равномер­ного движения, при котором точка проходит за опреде­ленный промежуток времени такой же путь, как и при неравномерном движении.

Пусть S — путь, проходимый точкой при неравномер­ном движении, и t — время, за которое точка проходит этот путь. Средняя скорость определится по формуле

v ср = s / t

Рассмотрим точку М, за промежуток времени Δt точка М переместится в положение М1 по дуге ММ1. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М1. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt , то уменьшается и пройденный путь Δs (хорда стремится к дуге), т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению истиной скорости в момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-25; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.29.190 (0.026 с.)