Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых г равны расстоя­ниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ₁. В данном случае путь ds можно определить как произве­дение угла поворота на радиус окружности, т. е.

ds = r _* dφ. 10

Линейная скорость определится как производная пути по вре­мени

 

v = ds/dt

Подставив вместо ds его значение по (10), получим

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r_* dφ/dt = rω 11

 

 

Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вра­щающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим

 

v = r =

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения

 

a_t = dv/dt = d(rω)/dt = r _* dω/dt = rε

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата ско­рости к радиусу окружности

a_n = v²/r

Пример7. Скорость точки за 15 с. возрастает от 20 км/ч до 80 км/ч. Определить какой путь пройдет точка за время разгона и каково будет ее ускорение в конце 15 – ой секунды если движение происходит по дуге r = 50 м.

 

Дано: v₀

t = 15 c

v₀ = 20 км/ч = 5,6 м/с

v₁ = 80 км/ч = 22,3 м/с R

r= 50 м

Определить S; a_t; a_n v₁

a_t = v – v₀ /t = 22,3 – 5,6 /15 = 1,12 м/с

а_п = v ²/r = 22,3² / 50 = 10 м/с²

a = ²_t +a ²_n = √1,12² + 10² = √1,25 + 100 = 10м/с²

S = (v₀ + v) _* t /2 = (5,6+22,3) _* 15 / 2= 210м

 

Пример 8. Автомобиль движется со скоростью v = 54 км/ч при торможении он получает замедление a_t = - 0,5 м/с². Найти какой путь он прошел от начала торможения до полной остановке и сколько времени продолжалось торможение.

Дано:

v₀ = 54км/ч = 15 м/с v₀ v₁

a_t = -0,5 м/с²

Определить S;t

a_t = v – v₀ /t =>

t = v – v₀ / a_t = 0-15 / -0,5 = 30 c

S = (v₀ + v) _* t /2 = (15+0)_*30 / 2 = 225м

Пример 9. На пути 600 м скорость точки уменьшается с 30 до 10 м/с. Определить время этого движения, а также полное ускорение в начале и в конце движения если точка двигалась по дуге r = 400м.

Дано:

S = 600 м v₀

v₀ = 30 м/с

v₁ = 10 м/с

r = 400 м r

Определить t;a_1;a₂ v₁

S = (v₀ + v) _* t /2 =>

t = 2S / v₀ + v₁ = 2 _* 600 / 30+10 = 30c

a_t1 = v – v₀ /t = 10-30 / 30 = - 0,67 м/с²

а_п1 = v ₀²/r = 30²/400 = 2,25 м/с²

a₁ = ²_t1 +a ²_n1 = √ -0,67² + 2,25² = √0,45 + 5,062 = 2,35 м/с²

а_t1= а_t2= - 0,67 м/с²

а_п2 = v ₁²/r = 10²/400=0,25м/с²

a₂ = ²_t2 +a ²_n2 = √ -0,67² + 0,25² = √0,45 + 0,062 = 0,715 м/с²

Пример 10. Точка начала прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя и ч/з 5сек приобрела скорость 10 м/с с этого момента точка стала двигаться равномерно по окружности r = 10 м, ч/з 15 сек движение по окружности точка внезапно остановилась. Определить: 1. Путь пройденный точкой за все время движения; 2. Среднюю скорость на этом пути; 3. Ускорение точки на прямолинейном и криволинейном участке пути.

Дано: 0 a_t v₁ 1

v₀ = 0

t₁ = 5 с v₁ = v₂

v₁ = 10 м/с r

r = 10 м a_n

t₂ = 15 с

Определить S; v; a_t1; a_n2

S₁ = v_{ср *} t₁ = v_1* t₁ / 2 = 10 _* 5 / 2 = 25м (т. к. равномерноускоренное)

S₂ = v_{2 *} t₂ = 10 _* 15 / 2 = 150м(т.к. равномерное)

S = S₁ + S₂ = 25 + 150 = 175 м

v_ср = S / t₁ + t₂ = 175 / 20 = 8,75 м/с = 8,75 _* 3,6 = 31,5 км /ч

a_t1 = v₁ / t₁ = 10 / 2 = 2 м/с

a_n = v₂ / r = 10² / 10 = 100 / 10 = 10 м/с

Пример 11. Автомобиль, имея начальную скорость 72 км/ч проходит за 20 сек путь 600. Найти скорость и ускорение (полное) в конце 20 сек, считая движение равнопеременным по дуге окружности радиуса r = 1200 м

Дано:

v₀ = 72 км/ч= 20 м/с

t = 20 с

S = 600 м r

r = 1200 м

Определить v; a

S = v₀ + v /2 _* t =>

v = 2S / t – v₀ = 2 _* 600 / 20 – 20 = 40 м/с

a_t = v – v₀ /t = 40 – 20 / 20 = 1 м/с²

а_п = v ²/r = 40² / 1200 = 1,3 м/с²

а = √а_t² + a_n² = √1² + 1,3² = 1,6 м/с²

Пример 12. Точка прошла за время 20 сек с касательным ускорением a_t = 4 м/с² путь 1400 м по дуге r = 100 м. Определить v₀, а

 

Дано:

a_t = 4 м/с²

t = 20 с

S = 1400 м r

r = 100 м

Определить v₀; a

S = v_{0 *} t + a_{t *} t² / 2 => v₀ = S - a_{t *} t² / 2 _/t = 1400 – 4_* 20²_/20 = 30м/с

a_t = v – v₀ /t => v = a_{t *} t + v₀ = 4 _* 20 + 30 = 110 м/с²

а_п = v ²/r = 110² / 100 = 121 м/с²

а = √а_t² + a_n² = √121² + 4² = 121,1м/с²

Пример 1. Равномерно вращающееся тело делает 10800 оборотов в час. Определить его угловую скорость.

Дано:

n = 10800 об/час = 10/800: 60 = 180 об/мин ω = π _* n / 30 = 6 π рад / сек

___________

ω -?

Пример 2. Угловая скорость равномерно вращающегося тела ω = 8 рад / сек. Определить сколько оборотов в час делает тело.

Дано:

ω = 8 рад / сек

__________ ω = π _* n / 30 => n = 30 _* ω / π=76,4 об/мин = 60 _* 76,4 = 4585 об/ч

n -?об/ч

 

Пример 3. Расстояние от Луны до Земли рано 384000 км. Найти скорость движения Луны по своей орбите, если полный оборот около Земли она совершает в 27 суток. Орбиту Луны принять за окружность, а движение считать равномерным.

Дано: 27 суток = 27 * 24 * 3600 = 2332800 сек

r = 384000 км Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 384000000м = 2411520000 м

t = 27 суток v = s / t = 2411520000 / 2332800 = 1034 м / c

_________

v -?

 

Пример 4.

Дано:

r = 149600000 км – расстояние от земли до солнца

t = 365 дней = 365 _* 24 _* 3600 = 31536000 сек

_________

v -? – земли вокруг солнца

Sкруга = π D = 2π r = 2 _* 3,14 _* 149600000000м

v = s / t = 29791 м / сек

Пример 5. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, в первые 10 сек совершает 30 оборотов. Какова его угловая скорость по истечению 5 сек?

Дано:

t₁ = 10 сек φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 188,4 рад

φ = 30 об

t₂ = 5 сек φ = ω _* t / 2 => ω = 2φ / t = 2 _* 188,4 / 10 = 37,68 рад/сек(при10 сек)

ω₀ = 0

___________

ω -? ω = 37,68 / 2 = 18,84 рад / сек (при 5 сек)

 

 

Пример 6. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 4800 об в первые 2 мин. Найти угловое ускорение вала.

 

Дано:

φ = 4800 об φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 4800 _* 2 _* 3,14 = 30144 рад.

ω₀ = 0

t = 2 мин φ = ε _* t² / 2 => ε = 2φ / t² = 2 _* 30144 / 120² = 4,18 рад / сек²

__________

ε -?

Пример 7. Колесо начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, Через 20 мин после начала движения колесо имело угловую скорость, соответствующую 240 об / мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 20 мин.

Дано:

ω₀ = 0

t = 20 мин φ = ω _* t / 2 = 240 * 20 / 2 = 2400 об

ω = 240 об / мин

_________

φ -?

 

Пример 8. Колесо, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = 4π рад/сек, было затем отключено от привода, поддерживавшего заданную рабочую скорость вра­щения. Сделав 25 оборотов, колесо вследствие трения в под­шипниках остановилось. Полагая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение колеса.

Дано:

ω₀ = 4π рад/с ε = ω – ω₀ / t = 0 - 4π / t = - 4π / t

φ = 25 об φ = φ_{об *} 2π = 25 * 2 * 3,14 = 157 рад

ω = 0 φ = ω + ω₀ / 2 * t = ω₀ * t / 2 => t = 2φ / ω₀ = 2 * 157 /4π = 25 сек

_________

ε -? ε = -4π / t = 4 * 3,14 / 25 = - 0,5 рад / сек²

Пример 9. При посадке самолета пропеллер вращается с угло­вой скоростью, соответствующей п = 900 об/мин. После выключения мотора пропеллер сделал до остановки 60 обо­ротов. Считая вращение пропеллера после выключения мо­тора равнозамедленным, определить, сколько времени про­шло с момента выключения мотора до остановки. Опреде­лить ускорение пропеллера.

Дано:

n = 900 об/мин φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 60 * 2 * 3,14 = 376,8 рад

φ = 60 об ω₀ = π n / 30 = 3,14 * 900 / 30 = 94,2 рад / сек

ω = 0 φ = ω + ω₀ / 2 _* t = 0 + ω₀ * t / 2 => t = 2φ / ω₀ = 2 * 376,8 / 94,2 = 8 сек

_________

t -? ε -? ε = ω – ω₀ / t = 0 – ω₀ / t = 94,2 / 8 = 11,775 рад / сек²

Пример 10. Маховое колесо радиуса R = 2 м вращается равно­ускоренно из состояния покоя; через t =10 сек точки, ле­жащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 50 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 25 сек.

Дано:

r = 2 м v₁ = r _* ω => ω = v / r = 50 / 2 = 25 рад/сек

ω₀ = 0 ε = ω₁ / t₁ = 25 / 10 = 2,5 рад/сек²

t_{1 =} 10 с ε = ω₂ / t₂ => ω₂ = ε * t = 2,5 * 25 = 62,5 рад / сек

v₁ = 50 м/с v₂ = r _* ω₂ = 2 * 62,5 = 125 м/с

t₂ = 25 с a_t = r * ε = 2 * 2,5 = 5 м/с²

v₂ -? a_n -? a_t -? a_n = v₂² / r = 125² / 2 = 7812,5 м/с²

 

Пример 11. Точка пробегает в минуту 200 раз окружность, диаметр которой 3 м. Вычислить ускорение точки.

Дано: ω = π n / 30 = 3,14 * 200 / 30 = 20,9 рад/сек

n = 200 об/мин v = r * ω = 1,5 * 20,9 = 31,4 м/с

D = 3м a_n = v₂² / r = 31,4² / 1,5 = 660 м/с

________

a_n -?

Пример 12. Частота вращения маховика составляет 300 об/мин затем маховик бал заторможен и ч/з 3 с частота его вращения уменьшилась до 120 об/мин. Определить ч/з сколько времени маховик остановится и сколько оборотов он совершит от начала торможения до полной остановки.

Дано:

n₀ = 300об/мин ω₀ = πn₀ / 30 = 300π / 30 = 10π рад/сек

t₁ = 3c ε = const ω₁ = πn₁/ 30 = 120π / 30 = 4π рад/сек

n₁ = 120об/мин ε = ω₁ - ω₀ / t₁ = 4π - 10π / 3 = - 2π рад/сек²

n₂ = 0 ω₂ = ω₀ + ε t₂ т к ω₀ = 0 то =>

ω₂ = 0 - ω₀ = ε t₂ => t₂ = - ω₀ / ε = -10π / - 2π = 5с

_________ φ = ω_{ср *} t = (ω₀ + ω₂) _* t /2 = 10π _* 5 / 2 = 25π рад

t₂ -? φ -? φ_об = φ / 2π = 25π / 2π = 12,5 об

Пример 13. Ротор эл двигателя делает 2700 об/мин. После выключения ротор останавливается совершив 675 об. Определить время вращения ротора с момента выключения до полной остановки.

Дано:

n₀ = 2700об/мин ω₀ = πn₀ / 30 = 2700π / 30 = 90π рад/сек

t₁ = 3c φ_об = φ / 2π => φ = 2π φ₀ = 2π675 = 1350 рад

n₁ = 0 φ = ω_{ср *} t = (ω₀ + ω₁) _* t /2

ω₁ = 0 t = 2φ / ω₀ + ω₁ = 2 _* 1350 / 90π = 30с

φ = 675 об

_________

t -?

 

Пример 14. Тело при вращении с постоянным угловым ускорением 24 рад/с² в течении 105 сек сделано 2100 об. Определить угловую скорость тела в начале и конце равнозамедленного вращения.

Дано:

t = 105 сек φ = 2π φ₀ =2π _* 2100 = 4200π рад

φ_об = 2100 об φ = ω_{0 *} t + ε_* t² / 2 => ω₀ = φ - ε_* t² / 2 _/ t =

ε = 24 рад/с² 4200 – 24 _* 105² / 2_/105 = 1220 рад/сек

--------------

ω₀ -? ω -? ω = ω₀ + ε _* t = 1220 + 24 _* 105 = 3740 рад/сек

 

Подставив в выражение нормального ускорения а_п = v ² / r зна­чение скорости v = ωr, получим

a_n = v²/r = (ωr)²/r = rω²

 

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях a_t и а_п (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим

 

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траек­тории по некоторому закону s = f (t). За промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt, то уменьшается и пройденный путь Δs, т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению скорости в заданный момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Часто бывает необходимо определить среднюю ско­рость неравномерного движения за некоторый промежуток времени, т. е. скорость такого воображаемого равномер­ного движения, при котором точка проходит за опреде­ленный промежуток времени такой же путь, как и при неравномерном движении.

Пусть S — путь, проходимый точкой при неравномер­ном движении, и t — время, за которое точка проходит этот путь. Средняя скорость определится по формуле

v _ср = s / t

Рассмотрим точку М, за промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt, то уменьшается и пройденный путь Δs (хорда стремится к дуге), т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению истиной скорости в момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление: