Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.

Проведенная в теле прямая ВМ во время

движения перемещается параллельно своему начальному поло­жению.

Рассмотрим перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени dt. При этом можно считать, что точки М и В перемещают­ся по прямолинейным и параллельным траекториям. За время dt они пройдут одинаковые пути ds. Следовательно, значения скоро­сти этих точек будут одинаковы

v_М = v_B = v = ds / dt

и направлены в одну сторону, т. е.

v^→_M = v ^→_B = v^→.

Аналогично доказывается ра­венство ускорений точек тела при поступательном движении

a ^→_М = а ^→_B = a^→

Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент вре­мени имеют равные по модулю и параллельно направленные ско­рости и ускорения.

Поступательное движение тела вполне характеризуется движе­нием одной его точки, которое может быть задано координатным или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. При­мерами поступательного движения служат движение поршня двигателя, движение вагона на прямом участке пути и т. п. По­ступательное движение может быть прямолинейным и криволи­нейным.

 

Вращение тела вокруг неподвижной оси

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности во­круг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси.

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси 0z. Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0z и совпа­дающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмечен­ных положения плоскости составят угол φ.

Угол φ называется углом поворота тела. Угол поворота φ измеряется в радианах и соответствует определенному положе­нию тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение, выражающее угол пово­рота как функцию от времени

φ = f(t)

Изменение угла поворота во времени определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отно­шение приращения угла поворота Δφ ко времени Δt, в тече­ние которого это приращение произошло: ω(амега) = Δφ/Δt

Истинная угловая скорость вращатель­ного движения тела равна производной угло­вого перемещения по времени

ω = lim ∆φ / ∆t = dφ / dt

∆t →0

Угловая скорость со измеряется в ра­дианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяется• частотой вращения п, об/мин. Связь между угловой скоростью со (рад/с) и частотой вращения п (об/мин) можно установить следующим образом. За один оборот вра­щающегося тела угол поворота составит 2π рад. За п оборотов в 1 мин угол по­ворота составит 2πп.

Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за п оборотов на 60 с

ω = 2πn / 60 = πn / 30

Например, частота вращения вала электродвигателя п = 1400 об/мин, тогда угловая скорость

ω = 3,14 _* 1400/30 = 150,7 рад/с

Когда угловая скорость тела постоянна (ω = const), враще­ние — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется

φ = ωt

Когда угловая скорость переменна (ω≠ const), тело вращается неравно­мерно,

Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени,

ε (эпсилон) = dω/dt = d²φ / dt²

Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с².

При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускоре­нием (ε = const) происходит равнопеременное вращение (+ ε равноускоренное; - ε равнозамедленное). Уравне­ния равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равно­переменного прямолинейного движения точки, только вместо ли­нейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения тем же путем:

φ = ω₀t + εt²/2; ω = ω₀ + εt

где ω₀ — начальная угловая скорость (при t = 0).

Угловое ускорение ε — величина алгебраическая: при равно­переменном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномерно-замедленном движении угловое уско­рение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение уг­ловой скорости уменьшается.

ω0 = 0	ω0 ≠ 0
ε= ω/t [рад/с^2]	ε = ω – ω0 /t [рад/с^2]
ω =ε* t [рад/с]	ω =ω0 + ε * t [рад/с]
φ = ε* t^2 / 2 [рад]	φ = ω0 * t + ε* t^2 / 2 [рад]
φ = ω* t /2 [рад]	φ = ωср * t = (ω0 + ω) * t /2 [рад]

 

φ_об = φ / 2π