Динамика поступательного и вращательного движения.

№1 На рисунке приведен график зависимости скорости тела v от времени t. Если масса тела равна 2 кг, то сила (в Н), действующая на тело, равна …

Решение: Из второго закона Ньютона F=ma, где а – модуль ускорения, который можно найти из графика зависимости v(t): . Тогда

 

№2 На рисунке приведен график зависимости скорости тела v от времени t. Если масса тела 1,5 кг, то изменение импульса тела (в единицах СИ) за первые 4 с движения равно …

Ответ: 3

№3 Зависимость импульса частицы от времени описывается законом , где и - единичные векторы координатных осей X, Y соответственно. Зависимость горизонтальной проекции силы , действующей на частицу, от времени представлена на графике….

Решение: Сила , действующая на материальную точку, равна скорости изменения ее импульса В нашем случае , и, сравнивая , находим и . Проекция силы на ось ; следовательно, с течением времени горизонтальная составляющая силы не меняется.

 

№4 На покоящееся тело массы кг налетает с некоторой скоростью тело массы кг. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно -зависящая от времени, растет от 0 до значения за время c. а затем равномерно убывает до нуля за то же время Все движения происходят по одной прямой. Скорость первого тела массы в после взаимодействия равна …

Решение Поскольку на тело действует переменная сила, применим второй закон Ньютона в виде . Импульс силы равен изменению механического импульса. Импульс силы взаимодействия равен (интеграл можно найти вычислив площадь под графиком функции . Изменение механического импульса . Находим скорость первого тела массы m₁ после взаимодействия

 

№ 5 Модуль скорости автомобиля изменялся со временем,как показано на графике зависимости ). В момент времени автомобиль поднимался по участку дуги.

Направление результирующей всех сил,действующих на автомобиль в этот момент времени,правильно отображает вектор…

Решение:

В системе отсчета,связанной с Землей,ускорение автомобиля и результирующая действующих на него сил связаны вторым законом Ньютона: . Полное ускорение - тангенциальная состовляющая ускорения, нормальная состовляющая ускорения. Как следует из графика зависимости модуля скорости от времени,в момент модуль скорости автомобиля достигает максимального значения . Поскольку автомобиль движется в этот момент по криволинейному участку траектории,то (см.рисунок) и ее направление совпадает с напрвление вектора 3.

Ответ: 3

№6 Автомобиль поднимается в гору по участку дуги с увеличивающейся по величине скоростью. Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, ориентирована в направлении

Ответ: 4

№7 Импульс материальной точки изменяется по закону (кг·м/с). Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен

Решение: Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид Модуль силы , и в момент времени t = 4 c

№8 Импульс материальной точки изменяется по закону (кг·м/с). Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 2 c, равен

Решение: Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: .Тогда зависимость силы от времени имеет вид .

Ответ: 8

№9 Диск вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. К ободу диска приложена сила , направленная по касательной. Правильно изображает направление момента силы вектор

Ответ: 3

№10 Диск начинает вращаться вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией

Ответ: B

№11 Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией

Ответ: Е

№12 Тонкостенный цилиндр массы m и радиуса R вращается под действием постоянного момента сил вокруг оси, проходящей через центр масс цилиндра и перпендикулярной плоскости его основания. Если ось вращения перенести параллельно на край цилиндра, то (при неизменном моменте сил) его угловое ускорение …

Ответ: уменьшится в 2 раза

…

№13 Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и кольцо; причем массы m и радиусы R их оснований одинаковы.

 

 

Для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей верным является соотношение

Решение: Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска) массы m и радиуса R относительно его оси вычисляется по формуле , тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси – по формуле . Из последней формулы видно, что момент инерции тонкостенного цилиндра (трубы, кольца) не зависит от его высоты. Поэтому правильным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение

№14 Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил ( или ), лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение

Решение: При вращении тела вокруг неподвижной оси момент относительно этой оси создает только одна составляющая действующей на него силы, а именно касательная к траектории точки ее приложения . Тогда момент силы относительно неподвижной оси равен: , где r – радиус-вектор точки приложения силы. В данном случае составляющая одинакова для трех сил: а для силы . Кроме того, все силы приложены в одной точке. Поэтому .

№15 При выстреле орудия снаряд вылетел из ствола с угловой скоростью под углом к горизонту. Момент инерции снаряда относительно его продольной оси , расстояние между колесами орудия , время движения снаряда в стволе время выстрела, отличаются на …

Решение: Найдем угловые ускорения снаряда относительно продольной оси при выстреле . Со стороны ствола орудия на снаряд действует момент сил . По третьему закону Ньютона такой же по модулю, но противоположно направленный момент сил действует на ствол орудия. Его проекция на горизонтальную плоскость уравновешивается моментом, возникающим за счет различия сил реакций опоры (давление земли), действующих на колеса, , где - разность сил реакций опор. Отсюда находим . Вычисляем .

№16 Шар, цилиндр (сплошной) и тонкостенный цилиндр с равными массами и радиусами раскрутили каждый вокруг своей оси до одной и той же угловой скорости и приложили одинаковый тормозящий момент. Раньше других тел остановится …

Решение.

При одинаковом моменте сил угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции тела. Момент инерции шара , момент инерции цилиндра , момент инерции тонкостенного цилиндра . Следовательно, ускорение торможения будет большим для шара и первым остановится шар.

 

№17 Тонкостенный цилиндр массы m и радиуса R вращается под действием постоянного момента сил вокруг оси, проходящей через центр масс цилиндра и перпендикулярной плоскости его основания. Если ось вращения перенести параллельно на край цилиндра, то (при неизменном моменте сил) его угловое ускорение …

Решение: Момент инерции при неизменных материале, форме и размерах тела зависит от расположения оси вращения. Момент инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси . При переносе оси момент инерции тела изменится. В соответствии с теоремой Штейнера + . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, угловое ускорение равно: . Отсюда при неизменном моменте сил, действующих на тело, угловое ускорение цилиндра уменьшится в два раза.

№18 Величина момента импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону при этом зависимость величины момента сил, действующих на тело, описывается графиком…

Решение:

Скорость изменения момента импульса относительно какой-то неподвижной оси равна величине суммарного момента внешних сил относительно этой оси, т.е. где L-величина момента импульса,M –величина момента сил. Вычислив производную от функции, характеризующей зависимость величины момента импульса от времени, получим зависимость величины момента сил от времени . Графиком этой функции является убывающая ветвь параболы.

№19 Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 с радиус-вектором . При этом на нее действовала сила (радиус-векторы , и сила заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой , равна

Решение: По определению . С учетом того, что ,

 

№20 Частица совершила перемещение по некоторой траектории из точки M (1, 2) в точку N (2, –1). При этом на нее действовала сила (координаты точек и сила заданы в единицах СИ). Работа, совершенная силой (в Дж), равна …

Решение: По определению . С учетом того, что ,

№ 21 Мальчик тянет санки массой m по горизонтальной поверхности с ускорением , при этом веревка натягивается силой под углом к горизонту. Если коэффициент трения полозьев о поверхность равен , то уравнение движения санок в проекции на направление движения санок имеет вид …

Ответ:

№22 На рисунке приведен график зависимости скорости тела от времени t. Масса тела 20 кг. Сила (в H), действующая на тело, равна

Ответ: 20

Работа. Энергия

№1 На рисунке показаны тела одинаковой массы и размеров, вращающиеся вокруг вертикальной оси с одинаковой частотой. Момент импульса первого тела L₁ = 0,1 Дж·с. Если m = 1 кг, R = 10 см, то кинетическая энергия второго тела (в мДж) равна

Ответ: 250

№2 Тело массы m=100 г бросили с поверхности земли с начальной скоростью v₀ = 10 м/с под углом α = 30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна …

Решение: Средняя мощность, развиваемая силой за некоторый промежуток времени, равна отношению работы, совершаемой силой за рассматриваемый промежуток времени, к длительности этого промежутка: Работа силы тяжести и по условию задачи. Тогда A = 0 и, следовательно, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, также равна нулю.

Ответ: 0

 

№3 Потенциальная энергия частицы задается функцией . - компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А(1, 2, 3), равна

(Функция и координаты точки А заданы в единицах СИ.)

Решение: Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид , или , , . Таким образом, .

Ответ: 6

№4 Потенциальная энергия частицы задается функцией . - компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А(1, 2, 3), равна

(Функция и координаты точки А заданы в единицах СИ.)

Ответ: -4

№5 Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С (1, 1, 1) в точку В (2, 2, 2) равна …

Решение: Дж

 

№6 Тело движется вдоль оси под действием силы, зависимость которой от координаты представлена на рисунке. Работа силы на пути определяется выражением …

Решение:

Работа переменной силы в случае одномерного движения на участке определяется как интеграл: . На графике зависимости силы от координаты искомая работа представлена площадью, ограниченной кривой зависимости и осью координат (геометрический смысл интеграла). Следовательно, искомая работа численно равна площади трапеции ABCD, то есть произведению полусуммы оснований на высоту:

.

№7 Тело массы поднимают по наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости м, длина ее основания м, коэффициент трения . Минимальная работа, которую надо совершить, в джоулях равна …

Решение: Минимальная сила, которую надо приложить к телу, чтобы поднимать его по наклонной плоскости без ускорения, равна сумме составляющей силы тяжести, параллельной наклонной плоскости, и силы трения: . Работа равна , где – длина наклонной плоскости. Учитывая, что и , получим . Следовательно,

минимальная работа 14 Дж.

 

№8 На рисунке показан график зависимости потенциальной энергии от координаты х. График зависимости проекции силы F(x)от координаты х имеет вид…

Решение:

Потенциальная энергия,как видно из графика, пропорциональна квадрату координаты - коэфициент пропорциональности. Проекция силы F(x)на ось Х связана с потенциальной энергией соотношением и равна

График зависимости имеет вид

№9 Тело массой m =100 г бросили с поверхности земли вверх с начальной скоростью . Высота подъема тела оказалась равной м. Работа силы сопротивления (в Дж) воздуха равна …

Решение: Работа силы сопротивления воздуха равна изменению полной энергии тела: .