Распределение Максвелла- Больцмана

Распределение М. и Б. можно объединить в один закон – М-Б, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в интервале от v_x, v_y, v_z до v_x+dv_x….., а координаты в пределах от x, y, z до x+dx,….. равно:

dN(v_x, v_y, v_z, x,y,z) = Aexp(-(U+mv²/2)/kT) dv_xdv_ydv_zdxdydz; А – нормировочный множитель, равный .

Здесь внутренняя энергия U и Е_кин = mv²/2 могут принимать непрерывный ряд значений.

 

Б-20

1. Полная механическая энергия частицы.

Т.о. приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу. Если частица находится в стационарном поле консервативных сил, то на нее действует консервативная сила со стороны поля. кроме этого на неё могут действовать и другие силы ; т.е. результирующая сила .

Работа всех этих сил идет на изменение приращения кинетической энергии частицы

Известно также, что работа консервативных сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы.

, значит или

Т.о. работа сторонних сил идёт на приращение величины . Эту величину называют полной механической энергией частицы в поле . Отсюда видно, что определяется с точностью до постоянной, так как с точность до определяется . Теперь можно записать

(***)

т.е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно работе сторонних сил, действующих на частицу на этом пути; Если , то полная механическая энергия частицы растёт при , — уменьшается.

Пример: Тело, падающее с обрыва

.

2. Равенство поперечных размеров тел и лоренцево сокращение.

Лоренцево сокращение, Фитцджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращение длины движущегося тела или масштаба — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы имеют меньшую длину (линейные размеры в направлении движения), чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Пусть стержень длины l движется (вдоль своей длины) со скоростью v относительно некой системы отсчёта. В таком случае в фиксированный момент времени расстояние между концами стержня составит

, где c — скорость света.

Величина, обратная ко множителю с корнем называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки пространства составит

.

При этом, все размеры поперёк движения не меняются.

3. Средние скорости молекул: арифметическая, квадратичная, наиболее вероятная.

Пользуясь функцией распределения М., можно вычислить ряд важных в молекулярной физике величин: средней арифметической скорости <v>, средней квадратичной скорости v = √<v²> и наиболее вероятной скорости v_н.

1. Средняя арифметическая скорость <v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема dn_v, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростя

∞

ми, нужно это выражение про

∞

интегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vn

∞

f(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv, т.е.,

<v> = ∫vf(v)dv, подставив f(v), получим:

<v> = 4/√π (m /2kT)^3/2∫ v³e dv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²e vdv

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²e d(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT: ½∫ v²e d(v²) = ½ (2kT/m)²∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ =1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

2. Средняя квадратичная скорость √<v²> – отношение суммы квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме:

<v²> = ∫ v²f(v)dv = 4π(m/2πkT) ^3/2∫ v⁴e dv

берется по частям ∫ v⁴edv = 3/8(2kT/m)^5/2√π

тогда <v²> = 3kT/m; = √<v²> = √3kT/m

3. Наиболее вероятная скорость молекулы, ей соответствует max на кривой распределения М., поэтому ее находят, приравнивая производную функции нулю:

(d/dv)f(v) = d/dv[4/√ π (m/2kT)^3/2v²e ] = 0

т.е. d/dv(v²e) = 0, после дифференцирования получаем:

2ve(1-mv²/2kT) = 0. Это уравнение имеет три решения: v = 0; v = ∞, либо выражение в скобках равно нулю. Следовательно, v_н находят из условия:

1- mv²/2kT = 0 => v_н = √2kT/m

Сравнивая выражения для <v>, v и v_н, видно, что

v_{ср. кв.} = √3π/8<v> = 1,13<v> = √3/2 v_н = 1,22v_н

т.е. и средняя арифметическая, и средняя квадратичная скорости близки к v_н.

 

Б.21

1. Закон сохранения механической энергии частицы.

Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться под действием только сторонних сил, отсюда вытекает закон сохранения механической энергии частицы.

Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной.

;

Закон сохранения позволяет решать многие вопросы, не привлекая уравнения движения, которые часто приводят к??? расчетам.

2. Преобразования Лоренца.

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразованияй Лоренца под c следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся - в своих рамках - от их применения в фундаментальной физике).

Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью V вдоль оси x, а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

где c — скорость света в вакууме, величины со штрихами измерены в системе K', без штрихов — в K.
Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемое иногда бустом (англ. boost) или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает по сути всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

• Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие x,y,z,t через x',y',z',t'можно получить просто заменой V на − V (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта | V | одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить V штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованых x и t с нештриховаными.
• Надо иметь ввиду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1, что действительно делает их вид более изящным.
• Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

3. Обратимые и необратимые термодинамические процессы.

Для расширения представлений о термодинамических процессах уточним понятие обратимого процесса: процесс, совершаемый системой наз. обратимым, если после него можно возвратить систему и все тела, взаимодействующие с ней, в их начальное состояние таким образом, чтобы в других телах не возникало каких-либо остаточных изменений.

Необходимое условие обратимости терм. процесса – его равновесность, т.е. всякий обратимый процесс всегда является равновесным (квазистат). Однако не всякий равновесный процесс является обратимым. Например, квазистататический процесс равномерного движения по поверхности под действием силы тяжести и трения – процесс необратимый.

Пример обратимого процесса – незатухающие колебания тела, подвешенного на пружине в вакууме. Система тело-пружина консервативна. Ее механические колебания не вызывают никаких изменений в энергии теплового движения частиц системы. Изменение состояния системы связано с изменением ее конфигурации и скорости движения тела, которые полностью повторяются через период.

Пример необратимого процесса – торможение тела под действием силы трения. Если сила трения единственная сила, то скорость тела уменьшается и оно останавливается. При этом энергия мех движ. тела, как целого уменьш. и расходуется на увел. энергии тепл. движ. частиц тела и среды. Другими словами, за счет нач. кинет. эн. тела (W_к) растет внутрення энергия U тела и среды, нагревающихся при трении ΔU = W_к. Этот прямой процесс протекает самопроизвольно, он идет без каких либо процессов, происходящих с окружающими телами. Но для осуществления обратного процесса возвращения системы в исходное состояние необходимо, чтобы остановившееся тело вновь пришло в движение за счет энергии, выделившейся при его охлаждении и окружающей среды. Известно, что хаотическое движение тела, т.е., U не может самопроизвольно привести к упорядоченному движению всех частиц тела, как целого. Для реализации этого необходим дополнительный, так называемый компенсирующий процесс. Он заключается в охлаждении тела и окружающей среды до первоначальной Т, т.е., в отдаче ими некоторому другому телу теплоты Q = W_к и в совершении над рассматриваемым телом работы, равной W_к. Поэтому, хотя в результате прямого и обратного процесса система тело-среда возвратилась в исходное состояние, состояние внешних тел изменяется (меняется Т, затем совершается работа, т.е. меняются координаты). Следовательно, процессы сопровождающиеся трением необратимы.

Процесс теплообмена между двумя телами с разной Т приводит к выравниванию средних энергий тепл. движения частиц обоих тел. Энергия частиц более нагретого тела уменьшается, менее нагретого – увеличивается. В итоге Т₁ = Т₂. Процесс идет самопроизвольно, как только обеспечен контакт между телами. Обратный процесс – нагревание одного тела за счет охлаждения другого, имевшего вначале Т₁ = Т₂, самопроизвольно не протекает. Для него используется холодильное устройство, работа которого приводит к изменению состояния других внешних тел. Значит процесс теплообмен при конечной ΔТ является необратимым. Можно показать, что необратимыми являются процессы диффузии и растворения.

Из всех этих примеров необратимых процессов можно сделать общие выводы: Все они в прямом направлении происходят самопроизвольно, а для осуществл. обр. проц. требуется одновременное протекание компенсирующих процессов. Все реальные процессы идут с конечной скоростью и сопровождаются трением и теплообменом при конечной разности температур тел, находящихся в тепловом контакте, значит все реальные процессы, строго говоря, необратимы. Однако в некоторых случаях условия протекания процесса таковы, что их приближенно можно считать обратимыми.

 

Б-22

1. Кинематика вращательного движения: угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение, связь между линейной и угловой скоростью.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка длина которого , а направление совпадает с осью вращения и определяется правилом правого винта: Направление должно быть таким, чтобы глядя вдоль него, мы видели поворот совершающийся по часовой стрелке.

При поворотах на очень малые углы, путь проходимый точкой можно считать прямолинейным, поэтому два последовательных малых поворота и (вокруг разных осей, оси в данном случае) обуславливают как видно из рис., такое же перемещение, любой точки тела, как и поворот получаемый из и сложением о правилу параллелограмма. Значит очень малые повороты можно рассматривать как векторы. Направление вектора поворота , связывается с направлением вращения тела, следовательно не является истинным вектором, а является псевдовектором.

Векторная величина называется угловой скоростью тела направлена вдоль оси вращения, в сторону, определяемую правилом правого винта — тоже псевдовектор, модуль , если — равномерное вращение , для равномерного движения -угол поворота в единицу времени. период вращения число оборотов , а .

Понятия и можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под ними мгновенное вращение.

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения оси (по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (по направлению). Если за получает приращение то изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением

— тоже псевдовектор.

Точки вращающегося тела имеют разные линейные скорости, которые определяют и . Если за тело повернулось на , то . Линейная скорость точки ; т.е. .

Найдем связь между векторами и . Положение для модулей точки определяет . Из рис. видно, что совпадает с по направлению, модуль равен .

Модуль нормального ускорения точек или через .

Когда ось вращения не поворачивается в пространстве, тогда тангенциальное ускорение:

; -модуль угловой скорости, т.е .

Т.о. нормальное и тангенциальное ускорение растут пропорционально .

2. Релятивистский импульс. Основное уравнение релятивистской механики.

Уравнение описывает изменение движения протяженного тела под действием силы при отсутствии деформации и оно движется. Для точки оно справедливо всегда. поэтому его можно рассматривать как основной закон движения материальной точки: ускорение материальной точки пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. В механике Ньютона масса не зависит от характеристик движения, , ускорение ; —скорость точки, тогда или (**).

Вектор называют импульсом материальной точки. В теоретической механике(а раньше и в физике) вектор называют количеством движения. Импульс одна из важнейших динамических характеристик материальной точки

В форме (**) основной закон динамики материальной точки утверждает, что скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. В этом состоит (согласно современной терминологии) второй закон Ньютона.

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причин в классической механике, т.к. устанавливает однозначную связь между изменением со временем состояния движения и положения материальной точки в пространстве и действия на нее силы. Закон позволяет по начальному состоянию точки () и действующей силы рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

На основании обобщения опытных фактов был установлен важный принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них, сообщает материальной точке такое же ускорение, как если бы других сил не было. Т.о.

; —результирующая сила;

Основной закон можно переписать в виде:

;

вектор называется элементарным импульсом силы за малый промежуток времени её действия. Т.о. из основного закона и принципа независимости действия сил следует, что изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени равно элементарному импульсу результирующих всех сил, действующих на эту точку за тот же .

Изменение импульса за конечный промежуток времени от до

—импульс силы;

если то , среднее значение силы за .

3. Энтропия. Энтропия идеального газа.

Энтропия (от греческого слова преобразовать, превращать)

В середине ХІХ века было сделано существенное открытие, касающееся обратимых т. процессов. Это открытие связано с именами Карно и Клаузиуса и является существенной частью 2-го закона термодинамики.

Оказалось, что наряду с внутренней энергией у тела имеется еще одна важная функция состояния – энтропия. Так же, как и внутренняя энергия, энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной. В опытах проявляется значение разности энтропий.

Если тело или система при бесконечно малом переходе из одного состояния в другое при температуре Т получает малое количество теплоты δQ, то отношение δQ/Т является полным дифференциалом некоторой функции S. Эта функция и есть энтропия, определяющаяся, таким образом равенством:

dS = δQ/Т, при малом переходе,

а для конечного изменения: ΔS = S₂-S₁ = δQ/Т

Сущность энтропии заключается в следующем: Переход системы из одного состояния в другое может произойти бесчисленным количеством способов (разные кривые на графике с окончанием в одних точках) При этих переходах тело может получать разные количества тепла, однако во всех случаях интеграл будет иметь одинаковое значение, т.е., не зависит от вида перехода, а определяется только состояниями системы в точках 1 и 2. Значит S является функцией состояния.

Например, тело нагревают равномерно от 20 до 25˚С, при этом оно получает по 5 Дж теплоты на 1 К. Тогда прирост энтропии, примерно, равен S₂-S₁ ≈ 5/293,5+5/294,5+5/295,5+5/296,5+5/297,5 Дж/К.

Наиболее просто выразить изменение энтропии при изотермическом процессе: S₂-S₁ = =Q/Т, т.к., Т = const. Пример: при таянии 1 кг льда

Дж/К.

За нуль энтропии может быть принято значение энтропии любого состояния, (кипящей воды, плавящегося льда). Однако, в некоторых случаях за нуль принимают значение энтропии при абсолютном нуле Т. Приняв S = 0 при Т = 0, энтропию при произвольной температуре находят из выражения:

S = νС_рdT/T если нагрев происходил при р= const. Чтобы определение энтропии dS = δQ/Т было обоснованным, необходимо доказать, что в любом обратимом круговом процессе интеграл от δQ/Т тождественно равен 0.

δQ/Т ≡0, т.е. S = const

Если известно уравнение состояния вещества, то энтропия (с точностью до const) может быть вычислена весьма просто. По определению:

dS = δQ/Т, подставив сюда δQ из 1-го з-на т. получим:

dS = (m/M)(C_vdT/T+RdV/V)

Взяв определенный интеграл, получим

S₂-S₁ = (m/M)(C_v lnT₂ /T₁+ RlnV₂/V₁).

Это выражение для энтропии идеальных газов: она возрастает с повышением Т и при увеличении объема газа при подводе к нему теплоты δQ.

 

Б-23

1. Нормальное ускорение и модуль тангенциального ускорения при вращении.

Движение точки характеризуется также ускорением—быстротой изменения скорости

;

т.е. вектор равен производной по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения скорости за т.к. , то ускорение точки равно второй производной по времени от радиус-вектора:

;   ;   ;

где —проекция.

Если траектории точки плоская кривая, то можно выбрать два перпендикулярных направления: касательная к траектории (орт ) и нормали к ней . Тогда раскладывается по составляющим .

Т.к. вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону её движения, то

;

;

;

тогда ; —приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементарному пути за .

Ввиду малости его можно считать совпадающим с дугой окружности радиуса с центром в т.0 с центральным углом .

 

Соответственно, единичный вектор повор. на . Из равнобедренного треугольника , ввиду малости ; по направлению совпадает с (при )

;

и ускорение точки

;

— касательное(тангенциальное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. При ускоренном движении и совпадает с , при замедленном и не совпадает с .

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Направлено к центру кривизны траектории; ; поэтому его называют центростремительным. При прямолинейном движении .

Модуль ускорения

;

При ускоренном движении — острый, при замедленном—тупой ( угол между и ). Если движение по окружности равномерное то касательной

 

2. Кинетическая энергия релятивистской частицы.

Пусть частица массой движется пол действием силы . Элементарная работа этой силы: ; () . Скалярное произведение ; — проекция вектора приращения скорости на направление вектора . Она равна — приращению модуля вектора скорости, тогда и работа . Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой физической величины , которую называют кинетической энергией и которая является мерой энергии движения материальной точки.

, т.о. (*)

При конечном перемещении из т.1 в т.2

; (**)

Т.е. приращении кинетической энергии частицы при перемещении из т.1 в т.2 равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на этом перемещении. Если то — кинетическая энергия растет. Если — уменьшается (силы трения). Уравнения (*, **) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. А в последних, необходимо в работу всех сил учитывать работ сил инерции.

3. Принцип возрастания энтропии. Примеры: при теплообмене, при расширении в вакуум, при механическом движении в сосуде с газом.

Необратимость всех реальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них присутствует один из самопроизвольных процессов. В реальных явлениях невозможно избежать ни самопроизвольного расширения, ни трения, ни теплового рассеяния. Во всем этом есть один общий признак. Он состоит в том, что во всех самопроизвольных процессах энтропия возрастает.

Примеры:

а) При теплообмене между двумя телами с разными температурами общее изменение энтропии равно:

S₂-S₁ = Q₁/Т₁+ Q₂/Т₂, где Q₁ – тепло полученное, холодным телом; Q₂ – тепло, отданное горячим телом.

т.к. Т₂> Т₁ то Q₁ = - Q₂>0 - тепло, отданное телом, считается <0, тогда S₂-S₁ = Q₁(1/ Т₁-1/ Т₂)>0, т.е., при теплообмене общая энтропия системы возрастает.

б) Если внутри сосуда с газом происходит интенсивное механическое движение (вертится колесо), то температура газа за счет внутреннего трения растет (при этом V = const), поэтому энтропия системы изменится: S₂-S₁ = (m/M)(CvlnT₂/T₁), т.е., снова возрастает.

в) При расширении газа в пустоту при Т = const приращение энтропии: S₂-S₁ = (m/M)(RlnV₂/V₁); опять >0.

Итак, во всех самопроизвольных процессах энтропия системы возрастает. Это имеет важное значение для необратимых процессов.