Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрывы функций.

Классификация функций

 

1. Является ли частным значением функции ? Если да, то при каком значении x она принимает это значение?

2. Является ли частным значение функции при ?

 

3. Найдите частные значения неэлементарной функции:

 

 

4. Найдите частное значение функции, заданной графически при .

5. Какие из приведенных функций алгебраические, а какие трансцендентные?

1)

2)

3)

4)

 

5)

 

6. Какие из приведенных функций рациональные, а какие иррациональные?

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

7. Какие из приведенных функций являются целыми рациональными функциями, правильными рациональными дробями и неправильными рациональными дробями?

 

1) ;

 

2) ;

 

3) .

 

8. Укажите, какие функции обратные, а какие нет.

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

9. Укажите, какие функции заданы явно, а какие неявно.

1)

 

2)

 

3)

 

10. Найдите область определения следующих функций:

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) ;

 

5) ;

 

6) ;

 

7) ;

 

8) ;

 

9) ;

 

10) .

 

11. Исследуйте на четность и нечетность следующие функции:

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) ;

 

5) ;

 

6) ;

 

7) ;

 

8) ;

 

9) .

12. Найдите наименьший период функций:

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) ;

 

5) .

 

Тема 2. Теория пределов

1. Напишите первые пять членов последовательностей, n-ые члены которых выражаются формулами:

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

2. По заданным первым членам последовательности подберите одну из формул для - го члена:

1)

 

2)

 

3)

 

3. Докажите, что:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) ;

 

5) ;

 

6) .

 

4. Найдите пределы (раскройте неопределенности):

 

 

5. Вычислит е пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

 

9) ; 10) ;

 

11) ; 12) ; 13) ;

 

14) ; 15) ; 16) ;

 

17) ; 18) ; 19) ;

 

20) ; 21) ; 22) .

 

Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрывы функций.

Основные свойства непрерывных функций

 

1. Напишите последовательность значений:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) .

 

2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:

 

 

Докажите, что

(Указание. Положить где – б.м.в.)

 

3. Используя теоремы о пределах, найдите пределы:

 

 

 

4. Найдите односторонние пределы функции при .

 

5. Найдите точки разрыва функции и исследуйте поведение функции в окрестностях точек разрыва (т. е. найдите односторонние пределы в точке разрыва).

 

6. Пользуясь определением непрерывности функций, докажите, что функция непрерывна:

 

1) в точке ;

 

2) при .

 

7. Найдите точки разрыва и исследуйте их характер для следующих функций:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) .

Тема 4. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Эквивалентные бесконечно малые величины

 

1. Найти пределы, используя первый замечательный предел:

 

 

2. Найти пределы, используя второй замечательный предел:

 

 

3. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых величин, найти пределы:

 

 

Тема 6. Дифференцирование функций (продолжение)

 

1. Найдите производные следующих функций:

 

; ; ;

 

; ; ;

 

; ; ;

 

; ; .

 

2. Найдите производные неявных функций:

 

;

 

; .

 

3. Найдите производные функций, заданных параметрически:

 

 

 

4. Найдите уравнения касательной и нормали к плоской линии в точке

 

Тема 7. Дифференциал функции.

Тема 8. Аналитические приложения дифференцируемых функций

 

1. Определить интервал убывания и возрастания функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Найти по правилу Лопиталя следующие пределы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;