Общая схема исследования функции и

Построения ее графика

Для качественного исследования графика функции y=f (x)

целесообразно провести следующие исследования:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).

3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика.

5. Найти точки пересечения с осью Оx.

Обычно по полученным данным легко строится эскиз графика.

 

В качестве примера построим график функции

 

1. Наша функция представляет собой рациональную дробь. Она определена при всех значениях х, при которых знаменатель не обращается в нуль. Область определения функции (определена везде кроме точки х=0).

 

2. Выясним, есть ли асимптоты.

Таким образом, имеется вертикальная асимптота х=0.

А есть ли наклонная асимптота?

Итак, при и при график имеет наклонную асимптоту

 

3. Для нахождения области возрастания и убывания вычислим первую производную

 

 

 

Имея в виду, что при х=0 функция и ее первая производная не существуют, составим таблицу, в которой отразим области сохранения знака первой производной

 

 

Область значений х
Знак	+	–	+	–	+
Поведение функции	Возр.	Убыв.	Возр.	Убыв.	Возр.

 

Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума:

1) максимум при х= –3, при этом

2) максимум при х=1,

3) минимум при х=2,

4. Для нахождения областей сохранения выпуклости вычислим вторую производную

Составим таблицу сохранения знака (заметим, что при х=0 не существует).

Область значений х
Знак	–	–	+
Направление выпуклости графика	Вверх	Вверх	Вниз

 

Из этой таблицы очевидно, что график функции имеет перегиб в точке При этом

 

5. Найдем точки пересечения графика с осью Оx. Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения

(*)

а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни

, то уравнение (*) имеет единственный вещественный корень , т.е. график пересекает ось Оx только в точке . По полученным данным строим эскиз графика.

 

 

 

 

 

Наибольшее и наименьшее значение функции,

Непрерывной на отрезке

Если функция y=f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a,b ], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений (в соответствии с теоремой Вейерштрасса). Наибольшее М и наименьшее m значения функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка (рис.1), либо на его концах (рис.2).

 

 

 

Возможны различные комбинации указанных случаев. Важно понять следующее: чтобы найти максимальное М и минимальное m значения при , следует найти все критические точки внутри отрезка, а затем присоединить к ним две крайние точки отрезка: x=a и x=b, во всех точках вычислить значения функции и отобрать среди них наибольшее и наименьшее.

 

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Ищем значения y (x) в трех точках: на концах интервала, т.е. при х= –1, х=2 и в критической точке х=1:

y (–1)= –7; y (1)= 1; y (2)= 2. Итак: m= –7; M=2.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Примеры функций нескольких переменных

 

При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более переменных. Примеры:

S=xy. S – площадь прямоугольника, х и у – длины его сторон. S есть функция двух переменных.

V=xyz – объем прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого равны x, y, z. V – функция трех переменных.

– функция четырех переменных

x, y, z, t.

 

В дальнейшем мы будет рассматривать в основном функции двух переменных. Принципиальной разницы между функциями двух, трех и т.д. переменных нет, хотя технические трудности при вычислениях, безусловно, возрастают с ростом числа переменных.

 

3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных

 

Определение 1. Если каждой паре (х, у) значений двух, независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D.

Обозначение: z = f (x, y), z = F (x, y) и т.д.

 

Определение 2. Совокупность пар (х, у) значений х и у, при которых определена функция z = f (x, y), называется областью определения или областью существования этой функции.

 

Примеры. Найти область определения функций:

1. z = 2x – y.

Выражение 2х – у имеет смысл при всех х и у. Следовательно, область определения D – вся плоскость хОу.

 

2.

Область определения определяется неравенством или х² + у²£1. Очевидно, D – точки круга радиуса 1 с центром в начале координат. Граница круга входит в область определения.

3. z = ln(x + y).

Очевидно, х + у > 0, y >– x. Это полуплоскость над прямой у =– х (см. рис.).

 

 

Точки прямой у=–х в область D не входят.