Эквивалентные бесконечно малые функции и их

применение для вычисления пределов

Определение.

Бесконечно малые функции называются эквивалентными бесконечно малыми при , если

Пишут так: при .

 

Теорема.

Пусть в окрестности точки , за исключением, быть может, ее самой, задана функция и бесконечно малые функции . Тогда

Это равенство понимается в смысле: если существует предел его правой части, то существует равный ему предел левой части (и обратно). Отсюда же следует, что если один из пределов не существует, то не существует и другой.

Доказательство.

Пусть тогда

Аналогично доказывается обратное утверждение.

 

Пары эквивалентных бесконечно малых, которые используют при вычислении пределов:

 

9) при

 

Монотонные функции. Теорема о существовании

И непрерывности обратной функции

Определение.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на отрезке , если для любых

выполняется неравенство .

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Если неравенства строгие, то функция называется возрастающей (убывающей) на отрезке. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Теорема.

Рассмотрим непрерывную строго возрастающую функцию на отрезке , причем Тогда существует обратная к f функция , однозначная, строго возрастающая и непрерывная на .

 

 

 

Доказательство существования.

Поскольку каждому значению соответствует только одно значение , то любому значению y из можно поставить в соответствие именно то значение x, для которого обозначим это соответствие так: . Тем самым определена обратная функция.

 

Доказательство возрастания.

Из условия возрастания следует: если Верно и обратное утверждение: если

Но и получаем: если т.е. обратная функция – возрастающая.

 

Доказательство непрерывности обратной функции.

Докажем непрерывность обратной функции в произвольной точке . Обозначим и выберем произвольное , такое, что . Пусть

 

 

 

 

 

Выберем Тогда, очевидно,

а . (*)

Пусть теперь , т.е. .

С учетом (*) можно записать, что .

В силу возрастания функции следует, что

Но , поэтому или А это и означает, что функция непрерывна в точке

Разрывы первого и второго рода

 

Определение.
Пусть функция определена на интервале (a, b), кроме, быть может, точки . Точка с называется точкой разрыва функции , если функция f не определена при , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

 

Рассмотрим график . Кружок в точке А означает, что эта точка входит в область значений , т.е. . Стрелка в точке В означает, что точка В в область значений функции не входит. Поскольку , функция имеет разрыв в точке с.

 

Другие возможные случаи разрывов.

 

 

Если функция f имеет конечные пределы и , но , то функция имеет в точке разрыв I рода.

Если , то в точке устранимая особенность.

Если доопределить так, что , то получим непрерывную функцию.

 

 

Пример разрывной функции (функция Кронекера):

Точка является точкой разрыва I рода.

 

 

Если у функции не существует ни левого, ни правого предела, либо одного из них, либо эти пределы бесконечны в точке С, то функция имеет разрыв II рода.

 

Пример 1.

 

;

 

–точка разрыва II рода.

Пример 2.

Ее график имеет вид:

 

 

 

 

 

Эта функция не имеет в точке ни левого, ни правого предела. – точка разрыва II рода.

 

Пример 3.

 

Точки , – точки разрыва II рода. В них не определена, а пределы слева и справа бесконечны.

 

Функции, непрерывные на отрезке

 

Определение.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке a, слева в точке b.

Теорема 1.

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т.е. существует число , такое, что для всех .

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает минимума и максимума на , т.е. существуют точки , такие, что для всех .

 

Теорема 3.

Если функция непрерывна на и числа не равны нулю и имеют противоположные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка c, такая, что .

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ