Формула Тейлора для функции двух переменных

 

Формула Тейлора для функции одной переменной выглядит следующим образом:

 

.

 

Здесь – дифференциал первого порядка;

– дифференциал второго порядка;

– дифференциал -го порядка;

– остаточный член.

Формула Тейлора позволяет вычислить функцию в окрестности точки , если в этой точке известны функция и ее производных.

Аналогичная формула имеет место для функции двух переменных и вообще для функции многих переменных. В частности, если – функция двух переменных, непрерывная вместе со своими частными производными по и в некоторой области, содержащей точки и , то имеет место следующая формула Тейлора:

 

.

 

Здесь – полный дифференциал -го порядка функции двух переменных.

Выпишем эти дифференциалы при и .

 

,

где . Таким образом, – обычный полный дифференциал первого порядка. При имеем

 

 

 

 

.

 

Упражнение. Выписать самостоятельно полный дифференциал третьего порядка функции двух переменных.

Замечание. Если , то формула Тейлора носит название формулы Маклорена.

 

Пример 1.

Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Сначала найдем частные производные:

 

 

.

 

Все остальные производные равны нулю, так что формула Тейлора имеет ограниченное число членов.

Найдем функцию и ее частные производные в точке .

 

;

вторые частные производные равны константам, которые мы уже вычислили. Таким образом,

 

.

 

Пример 2.

Используя формулу Тейлора до членов второго порядка включительно, вычислить приближенно значение .

 

Пусть .

Тогда

 

 

 

.

Таким образом,

 

 

 

.

 

 

Экстремум функции двух переменных

 

Определение 1. Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀,y₀), если f(x₀,y₀)>f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Определение 2. Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀,y₀), если f(x₀,y₀)<f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Как обычно, точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Пример. Рассмотрим функцию z=(x–a)²+(y–b)²+1.

Очевидно, при х=а и у=b, z=1. Но если х¹а, у¹b, то

(x–a)²+(y–b)²>0, поэтому в любой точке, отличной от М(а,b), z>1. Следовательно, в точке М(а,b) функция имеет минимум, т.к. z(a,b)<z(x,y).

Можно дать немного другие определения. Пусть

 

Df = f(x, y) – f(x₀, y₀) = f(x₀ + Dx, y₀ + Dy) – f(x₀, y₀).

Определение. Если Df>0 (Df<0) при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x,y) достигает в точке М(х₀,у₀) минимума (максимума).

Все приведенные формулировки переносятся на функции любого числа переменных.

 

Теорема 1 (необходимое условие экстремума).

Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х₀, у=у₀, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в ноль, или не существует при х=х₀, у=у₀.

Доказательство очевидно, привести его самостоятельно.

Замечание. Условия являются необходимыми, но не достаточными. Может оказаться, что оба эти условия выполнены, а экстремума нет.

Пример. z=x²–y².

 

 

В точке х₀=0, у₀=0 обе частные производные равны нулю, но ни максимума, ни минимума нет (см. рис.).

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀,у₀) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка М₀(х₀,у₀) является критической точкой, т.е.

 

 

Тогда при х=х₀, у=у₀:

1) f(x,y) имеет максимум, если

 

и

 

2) f(x,y) имеет минимум, если

 

и

 

3) f(x,y) не имеет ни максимума, ни минимума, если

 

4) если же , то экстремум может быть, а может его и не быть (требуется дополнительное исследование).

Теорема 2 дается без доказательства.

 

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию z=x³+y³–3xy.

Сначала находим критические точки:

 

.

 

Решим уравнение x⁴=x:

 

x⁴–x=0, x(x³–1)=0, x(x–1)(x²+x+1)=0, x₁=0, x₂=1.

 

Тогда у₁=0, у₂=1. Таким образом, мы нашли две критические точки: (0;0) и (1;1).

Найдем производные второго порядка:

 

 

Исследуем характер точки (0;0):

 

 

 

ac – b² = 0 × 0 – 9 = –9 < 0.

 

В этой точке экстремума нет.

Исследуем характер второй точки (1;1):

b=–3;

 

ac – b² = 6 × 6 – 9 = 27 > 0; a > 0.

 

В точке (1;1) функция имеет минимум, z_min=z(1;1)=–1.