Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

Определение 8.12. Пусть функция у=f (х) определена в некото­рой окрестности точки х₀. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f (х), если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравен­ство . Если существует такое , , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , то точка х₀ называется точкой строгого макси­мума (минимума). Точки максимума и минимума называются точ­ками экстремума.

Теорема 8.14 (необходимое условие экстремума). Если функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и точка х₀ является точкой экстремума функции f (х), то либо производная f' (х₀) обращается в нуль, либо не существует.

Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными.

Теорема 8.15 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f (х) дифференцируема в окрестности точки , за исключением может быть самой точки х ₀, в которой она является непрерывной. Тогда:

а) если f' (х) > 0 при х < х₀ и f'( х) < 0 при х > х₀, то х₀ — точка строгого максимума;

б) если f' (х) < 0 при х < х₀ и f '(х) > 0 при х > х₀, то х₀ — точка строгого минимума;

в) если f' (х) в окрестности точки х₀ не меняет знак, то экстремума нет.

Коротко можно сказать, что если производная f' (х) при переходе через точку х ₀ меняет знак с плюса на минус, то х ₀ - точка строгого максимума, а если с минуса на плюс, то х ₀ - точка строго минимума. Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума. Иногда вызывает затруднение иссле­дование знака первой производной в окрестности заданной точки.

В ряде случаев бывает удобным применить при изучении точек экстремума следующую теорему.

Теорема 8.16 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке х₀ для функции f (х) выполняются условия:

f' (х₀) = 0, . Тогда, если f''( х₀) > 0, то f (х) имеет в точке х₀ строгий минимум; если f "(х₀) < 0, то f (х) имеет в точке х₀ строгий максимум.

 

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба

Определение. График функции у=f(x), дифференцируемой на интервале (а;b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (а;b) лежит не выше (не ниже) любой своей касательной. Теорема (об условиях выпуклости вверх или вниз). Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a; b) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке x₀ ∈ (a;b) 0 вторую производную. Тогда, если f '' (x) > 0 всюду на интервале (a; b), то функция имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f ‘’ (x) < 0, то функция выпукла вверх.

Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка M (x₁,f(x₁)), разделяющая промежутки выпуклости вверх и вниз. Иными словами, точка M (x₁,f(x₁)) -

точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороныкасательной на другую, меняя направление выпуклости. Теорема (о необходимом условии точки перегиба).

Если M (x ₁,f(x₁)) есть точка перегиба дважды дифференцируемой функции y = f (x), то f ‘’ (x₁) =0 или f '' (x₁) = ∞.

теорема (о достаточном условии точки перегиба).

Если вторая производная f ‘’(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x₁ меняет знак, причем f ‘’ (x₁) =0, то точка M(x₁,f(x₁)) есть точка перегиба кривой y = f (x).

Схема исследования функции на выпуклость

1) Найти вторую производную функции;

2) найти точки, в которых вторая производная равна нулю

или обращается в бесконечность;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой

найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и

точках перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.

 

Асимптоты графика функции

Прямая x = x ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim _{x → x −0} f(x) или lim _{x → x +0} f(x) равно + ∞ или − ∞.

Прямая y = y₀ называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim _{x →+∞} f (x)или lim _{x →-∞} f (x)равно b. График функции может иметь

только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если lim _{x →+∞}(f(x)-kx-b)= 0, т.е. когда функция при x →∞ представима в виде f (x) = kx + b +α(x), где lim _{x →+∞}α(x) = 0.

Существование асимптоты y = kx + b у кривой y=f(x) при x →∞ означает, что при x →∞ функция ведет себя «почти как линейная», т. е. отличается от линейной функции y = kx + b бесконечно мало. Наклонная асимптота может быть как правой так и левой.

Теорема (об условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции y = f (x) существуют пределы lim _{x →∞} и lim _{x →∞ ,} то функция имеет наклонную асимптоту y = kx + b при x →∞.