Диф уравнение с разделяющимися переменными. Однородные диф уравнения

Уравнения с разделяющимися пере­менными. называется дифференциальное уравнение вида f(x)dx + g(y)dy = 0 с непрерывными функциями f(х) и g(y).

Равенство где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Начальное условие для уравнения f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x0) = y0 или в виде x(y0) = x0.

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида f1(x)g1 (y)dx + f2(x) g2(y)dy =0.

Функции f1(x), g1(y), f2(x), g2(y) непрерывны в cвоих областях определения и g1(y)f2(x) ≠ 0.

Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g1(y)f2(x), получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

 

27. ЛДУ 1-го порядка (вывод формулы общего решения)

ДУ вида A(x)y’+B(X)y+C=0, где A(x)≠0, или после деления на A(x), приведённое к виду y’+p(x)y=q(x), называется линейным ДУ первого порядка. Если q(x) 0, то уравнение называется линейным однородным, иначе – линейным неоднородным.

Линейное однородное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение выражается формулой .

Для решения линейного неоднородного уравнения можно применять метод вариации произвольной постоянной, тогда общее решение неоднородного уравнения получается в виде .

y(x) = u(x) v(x): из этого выражения находим u(x), и y(x) = u(x) v(x).

Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки(метод Бернулли)y(x) = u(x) v(x) двух неизвестных дифференцируемых ф-и й u(x) и v(x).Тогда , и уравнение приводится к виду , или .

Найдем функцию v(x) как некоторое ненулевое частное реш-е однородного ур-я . затем находим u(x) из уравнения . после нахождения v(x) определяем u(x) как реш-е ур-я . тогда . отсюда реш-е линейного неоднородного ур-я сводится к реш-ю двух ур-ей с раздедяющимися переменными и имеет вид .

 

28,29. Линейные диф ур-я второго порядка с пост коэф­фициентами. имеет вид

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Общее реш-е линейного однородного диф.ур-я имеет вид: y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)

Для неоднородного линейного ур-я общее реш-е имеет вид:y= C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+µ(x)

Еслиp(x)≡p, q(x)≡q – постоянные, то линейное ур-е называется уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: . Для нахождения y₁(x), y₂(x)этого ур-я при f(x)=0 составляет квадратноеур-е λ²λ+pλ+q=0, кот-е назыв. характеристическим.

Возможны 3 вар-та:

D>0 корни ур-яλ_1, λ₂различные. Общее реш-е однородногоур-я y=C₁e^λ₁^x+C₂e^λ₂^x

D=0 корниλ₁₌λ₂₌λодинаковые. тогдереш-е y=e^λx(C₁+C₂x)

D<0 корни ур-я λ_1,2=α^+/-iβ(i=корень из -1). реш-е y=

 

30. Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q? R, r(x)-функция.

которое имеет вид y=yO+yЧ, где

yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0

yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x), которое зависит

от вида правой части,т.е r(x)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) r(x)=Pn(x),где Pn(x) – многочлен степени «n»

В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:

• yЧ=Qn(x) при q≠0

• yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0

• yЧ=x² Qn(x) q=p=0

2) r(x)=а где а,м? R, а,м =соnst

Вид частного решения следущее:

• yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0

(корни некратные,некомплексные)

• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0

•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0

3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const

• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0

• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²

 

31. Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n- м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Члены ряда опред след суммы: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂,S_n=a₁+a₂+…+a_n;

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда, а ряд называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет. Разность r_n между его суммой S и частичной суммой S_n: r_n=S- S_n называют остатком ряда после n-го члена или n-ым остатком ряда. Подробнее,

Теорема. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

 

32. Необходимый признак сходимости ряда (док-во).

Теорема. Если ряд сходится, то = 0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n =0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если ≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n =0 не следует, что ряд сходится.

Чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

 

33. Основные свойства сходящихся и несходящихся рядов

Сходящихся:

1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

2. Сумма сход числ ряда умнож на const равно его сумме умнож на ту же const.

3. Если числ ряды и сходятся, то сумма этих числ рядов также явл сход числовым рядом, при этом его сумма равна сумме исходных рядов: =

Сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q и с первым членом a₁, a₁≠0, вида a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1+…=

Частичная сумма ряда , a₁≠0, q≠1

Рассмотрим 4 случая

1. При (так как | q |<1), поэтому

и ряд будет сходящимся.

2. Если q = 1, то ряд имеет вид a1 + a1 + a1 + a1 +... + a1 +....

Сумма S_n первых его n членов, равная na, при Таким образом, ряд расходящийся.
3. Если q = -1, то ряд примет вид

a1 – a1 + a1 – a1 + a1- a1 +... +(-1)^n-1 a1 +.... Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то a1, в зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что при частичные суммы стремятся ни к какому пределу. Ряд расходится

4. Если | q |>1, тогда и, следовательно, , поэтому ряд является расходящимся и суммы не имеет

Гармонический ряд

Ряд вида называется гармоническим. Можно строго сказать, что он расходится.

Обобщенный гармонический ряд, или ряд Дирихле – это ряд вида

, где α – любое действительное число.

Ряд

 

34. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Числовой ряд называется знакоположительным, если u_n >0 при всех n =1,2,3….

Для таких рядов частичные суммы S₁, S₂, …, S_n,… образуют возрастающую числовую последовательность S₁ < S₂ <…< S_n <….

Признак сравнения числовых рядов

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

причём 0<a _n≤b_n при любых n =1,2,….

Тогда:

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд ; из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд . Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами

В качестве эталонного числ ряда использ ряд вида

Предельный признак сравнения

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда , причём 0<a _n<b_n Если существует конечный предел ≠0, то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве этал – ряд Дирихле.

35. Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , a_n>0,

и пусть существует предел . При l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится. Если l =1, то признак не дает ответ

Признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд , a_n>0, и пусть существует предел

При l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится. При l =1 критерий Коши не позволяет определить сходимость/расходимость

Интегральный признак (признак Маклорена-Коши)

Пусть задан ряд, a_n>0, , для к-го существует монотонно убывающая

непрер ф-я y=f(x) на [1;∞) такая что f(n)=a_n.

Тогда сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный

интеграл

 

 

35. Знакопеременные ряды

Числ ряд наз знакомеременным, если его члены либо положит либо отрицат

Признак Коши сходимости знакоперем рядов

Числ ряд (1) сходится абсолютно, если сход числ ряд, сост из абсолютных значений (величин) исх ряда

Если числ ряд расходится, то числ ряд (1) наз условно сходящимся чил рядом

Теорема. Из абсолютной сходимоти числ ряда след сходимость исходного ряда, т.е. если сходится, то сходится исходный ряд

Числовой ряд вида u₁-u₂+u₃-u₄+…+ … +(- 1 )^{n- 1.} u_n+ …, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом, т.е. ряд в к-м члены попеременно меняют знак.

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

1. Члены ряда убывают по модулю u₁ > u₂ >…> u_n >…,

2.

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.

 

36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой овой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз-ся знакопеременным.

Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся. Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд

- ряд из абсол значений величин.Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

1. Члены ряда убывают по модулю u₁ > u₂ >…> u_n >…,

2.

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.

Если в знакочередующемся ряде члены ряда монотонно убывают по абсолютным значениям и imU_n=0 (nà∞), то ряд сходится.

Дано: U₁>U₂>U₃>...; imU_n=0 (nà∞); U₁-U₂+U₃-U₄+..., U_i>0

Доказательство: S_2n ¾ чётная частичная сумма:

S_2n=+U₁-U₂+U₃-U₄+...-U_2n;

S_2n=(U₁-U₂)+(U₃-U₄)+...+(U_2n-1-U_2n);

S_2n>0 ¾ возрастает.

S_2n=U₁-(U₂-U₃)-(U₄-U₅)-...-U_2n; S_2n<U₁, U₁>0; imS_2n=S {nà∞}

imS_2n+1 {nà∞} = im(S_2n+U_2n+1)=S;

Чётные и нечётные суммы с одним пределом => ряд сходится.

1) Заметим, что S>0, т.е. знак суммы совпадает со знаком первого члена.

2) S<U₁

 

38. Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида (1)

наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.

Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд - ряд из абсол значений величин

Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

 

39. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x?(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|. (Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ. Применим к нему признак Даламбера. | a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L, то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞. Если L=∞, для любого x≠0, то R=0. Если R=0, то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R). Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|. 2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|. (Док-во 1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ=0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)². Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^*. В том числе должен сходится и при x= x₀, так как | x |< | x^*|. Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

 

40. Радиус сходимости и область сходимости степенных рядов. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда f(x) непрерывна внутри его интервала сходимости

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда имеют тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

3. Пусть задан СР с областью сходимости (-R;R). Тогда сумма S(x) явл дифференцируемой функцией в инт (-R;R). Ее произв S'(x)=

4. Для любого интеграла (α,β) (-R;R).