Экстремум функции нескольких переменных

 

Определение. Пусть функция определена в некоторой области , и - произвольная точка этой области. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство:

то точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции в области .

Определение. Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума этой функции.

Теорема. (Необходимые условия экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой области вместе со своими первыми частными производными. Если во внутренней точке области функция имеет экстремум, то в этой точке обращаются в ноль все её частные производные первого порядка:

.

Эта точка называется критической точкой функции в области .

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если , то в точке функция имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.

2) Если , то в точке функция ) не имеет экстремума

В случае если , вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Условный экстремум

 

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию , не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

, которое называется уравнением связи.

В этом случае из переменных х и у только одна является независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда становится функцией одного переменного. Следовательно,

В точках экстремума:

(2.1)

Кроме того:

(2.2)

Умножим равенство (2.2) на число l и сложим с равенством (2.1).

,

.

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции , если уравнение связи: . Имеем

;

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

 

Производная по направлению

 

Рассмотрим функцию в точках и .

Построим вектор . Углы наклона этого вектора к положительным направлениям координатных осей обозначим соответственно . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками и обозначим через :

.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M₁

y

x

Предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным и . Тогда справедливо равенство:

,

где величины – бесконечно малые при функции.

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

.

Величина является скалярной. Она определяет направление вектора . Определение. Предел называется производной функции по направлению вектора в точке с координатами .

Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора : .

Решение. Определяем координаты вектора :

2 .

Находим модуль этого вектора:

= .

Находим частные производные функции в общем виде:

Значения этих величин в точке А равны:

Для нахождения направляющих косинусов вектора проведём преобразования:

=

В качестве вектора примем произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Получаем значения направляющих косинусов вектора :

; .

Окончательно находим: - значение производной заданной функции по направлению вектора .