Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции нескольких переменных

1. Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты остаются справедливыми для функций произвольного числа переменных.

Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точке ставится в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Функцию иногда записывают в виде .

Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Графиком функции называют множество точек пространства . Обычно графиком функции является некоторая поверхность.

Расстоянием между двумя произвольными точками и евклидова пространства называется число , определяемое формулой:

.

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ).

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.

Замечание. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример. Если , то . При этом .

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Замечание. Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .

 

Непрерывность функции нескольких переменных

 

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и функции , , а если , то и функция .

Определение. Функция , определённая на некотором множестве называется непрерывной на множестве если она непрерывной в каждой точке множества .

Определение. Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этой области.

 

Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

Геометрический смысл полного дифференциала.

Экстремум функции нескольких переменных

 

Условный экстремум

 

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию , не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

, которое называется уравнением связи.

В этом случае из переменных х и у только одна является независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда становится функцией одного переменного. Следовательно,

В точках экстремума:

(2.1)

Кроме того:

(2.2)

Умножим равенство (2.2) на число l и сложим с равенством (2.1).

,

.

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции , если уравнение связи: . Имеем

;

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

 

Производная по направлению

 

Рассмотрим функцию в точках и .

Построим вектор . Углы наклона этого вектора к положительным направлениям координатных осей обозначим соответственно . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками и обозначим через :

.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M₁

y

x

Предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным и . Тогда справедливо равенство:

,

где величины – бесконечно малые при функции.

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

.

Величина является скалярной. Она определяет направление вектора . Определение. Предел называется производной функции по направлению вектора в точке с координатами .

Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора : .

Решение. Определяем координаты вектора :

2 .

Находим модуль этого вектора:

= .

Находим частные производные функции в общем виде:

Значения этих величин в точке А равны:

Для нахождения направляющих косинусов вектора проведём преобразования:

=

В качестве вектора примем произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. Получаем значения направляющих косинусов вектора :

; .

Окончательно находим: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

 

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных