Необходимое условие экстремума

Вопросы к экзамену

1 курс, 2 семестр, ФАУ, 341-345гр. Дисциплина – «математика», Менеджмент, бакалавриат.

 

1. Теорема Ролля
2. Теорема Лагранжа
3. Теорема Коши
4. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности при вычислении пределов.
5. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
6. Экстремум функции, необходимое условие экстремума функции.
7. Достаточные условия экстремума функции.
8. Выпуклость функции, точки перегиба.
9. Асимптоты графика функции.
10. Схема исследования и построения графика функции.
11. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
12. Свойства неопределенного интеграла.
13. Таблица основных неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.
14. Метод внесения новой переменой интегрирования под знак дифференциала. Метод замены переменной.
15. Метод интегрирования по частям (в неопределенном интеграле).
16. Вычисление интегралов вида: , .
17. Вычисление интегралов вида: , .
18. Интегрирование неправильных рациональных дробей.
19. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование правильных рациональных дробей.
20. Понятие определенного интеграла.
21. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
22. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.
23. Интеграл с переменным верхним пределом.
24. Формула Ньютона-Лейбница.
25. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
26. Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла.
27. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку интегрирования. Сходимость интегралов вида: .
28. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Сходимость интегралов .
29. Понятие числового ряда и его сходимости. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
30. Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства сходящихся рядов.
31. Первый признак сравнения.Второй признак сравнения.
32. Признак Даламбера, Признак Коши.
33. Интегральный признак (достаточный признак сходимости положительных рядов).
34. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числового ряда.
35. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.

 

Теорема Ролля

 

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

 

 

Теорема 2. (Теорема Лагранжа)

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой между точками и найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

 

 

3 Теорема Коши

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и :

1. непрерывны на отрезке ;

2. дифференцируемы на интервале ;

3. производная на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

Теорема

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Теорема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

 

4 Правило Лопиталя (раскрытие неопределенности)

(Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание

Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при .

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание

Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание

Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и , неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

 

5 Постоянство, убывание и возрастание

 

Если производная функции на участке существует и равна нулю и функция определена на данном участке, то функция на данном участке постоянна.

Одним из важнейших приложений дифференцированного исчисления является исследование функции с целью построения ее графика.
Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при х ₂> х ₁, f (x ₂) > f (х ₁), и убывающей, если f (x ₂)< f (х ₁).
Достаточные признаки возрастания и убывания функции:
если функция f (x)в каждой точке интервала (a, b) имеет положительную производную, то сама функция в этом интервале возрастает;
если функция f (x) в каждой точке интервала (a, b) имеет отрицательную производную, то функция в этом интервале убывает.
Определение. Функция у = f (x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х = х ₀, если f (x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки.

 

 

 

6 Экстремум функции

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

 

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

 

7 Достаточные условия экстремума функции.

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке ;

3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Виды асимптот

Определение

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

 

10 Схема исследования и построения графика функции.

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения и область допустимых значений функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

Замечание

Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.

Замечание

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

 

 

Задание. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью :

то есть точки

б) с осью : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые и - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: для любого из области определения функции; не существует при и .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: ; при и вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках и функция вогнута, а на промежутках и - выпукла. Так как при переходе через точку вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

11 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

или

 

Пример

Функция является первообразной для функции , так как

Первообразная имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.

Теорема

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

 

12 Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Пример

Больше примеров решений→

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Пример

Больше примеров решений→

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Пример

Больше примеров решений→

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Пример

Больше примеров решений→

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Пример

Больше примеров решений→

6. Если , то и , где функция - произвольная функция с непрерывной производной.

Пример

Известно, что , а тогда

 

13 Таблица основных интегралов

Метод непосредственного интегрирования

Определение

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

1. тождественное преобразование подынтегральной функции;

2. применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;

3. использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к нескольким табличным.

 

14 Метод внесения новой переменной под знак дифференциала

Пусть требуется найти неопределенный интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемые функции и такие, что

Тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Тогда, если и , то имеет место следующее равенство:

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала полезны следующие равенства для дифференциалов:

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

 

 

18 интегрирование неправильных рациональных дробей

 

19 разложение правильной дроби

 

Интегрирование правильных рациональных дробей

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. . Если же , то дробь называется неправильной.

Пример

Рациональная дробь является правильной.

Выражения и - неправильные рациональные дроби.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно получить многочлен плюс правильную дробь.

Примеры интегрирования правильных рациональных дробей

Пример

Задание. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Поделим числитель на знаменатель дроби в столбик (деление проводится до тех пор, пока степень остатка не будет меньше степени делителя):

Таким образом,

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью (так как степень числителя больше степени знаменателя), то выделим целую часть, для этого числитель поделим на знаменатель в столбик:

То есть,

Тогда интеграл

Ответ.

20 понятие определенного интеграла

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [ a, b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x) – какая-нибудь первообразная функция для f (x), то, согласно определению,

(38)

При a = b по определению принимается

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F (b) – F (a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

21 Геометрический смысл определенного интеграла.

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

 

Свойства определенного интеграла

1.Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3.Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

4.Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

5.Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:

6.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:

7.Пусть точка c принадлежит отрезку [ a, b ]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) на отрезке[ a, b ] равен сумме интегралов на частичных промежутках [ a, c ] и [ c, b ]:

8.Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:

9.Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:

10. Формула Ньютона-Лейбница

11. Метод подстановки для определенного интеграла

12. Интегрирование по частям