Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: .

 

ПРИМЕР 1. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение
называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

32. Формула Маклорена для е^х

Формула Маклорена для sinx

Формула Маклорена для cosx

35. Формула Маклорена для ln(1+x)

 

36. Формула Маклорена для (1+x)^m

где

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

 

Величина z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество точек D называется областью определения функции. Обычно областью определения функции является некоторая часть плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями.

Частными производными функции z = f (x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

 

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Полный дифференциал функции двух переменных и его применение к приближённым вычислениям.

Дифференциал функции

Функция z = f (M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов:

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (Δ x, Δ y) (1)

где

.

Определение. Дифференциалом функции z = f (M) в точке М называется линейная относительно приращений аргументов Δ x и Δ у часть полного приращения этой функции в этой точке:

d z = A ·Δ x + B ·Δ y. (2)

Связь дифференциала с частными производными

В выражении дифференциала (2) величины А и В равны частным производным функции по соответствующим переменным:

и .

Доказательство. Зафиксируем переменную у, так что она не получает приращения Δ y = 0. В этом случае полное приращение функции Δ z становится частным по переменной х и формула (1) принимает вид

Δ_x z = A ·Δ x + o (Δ x).

Откуда

. (3)

Переходя к пределу в обеих частях соотношения (3), получим

,

откуда, в силу определения частной производной и определения бесконечно малой более высокого порядка, чем Δ х, получим . Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается соотношение .
С учётом этого дифференциал (2) можно записать в виде

(4)

Из (4) следует, что дифференциалами независимых переменных х и у являются приращения этих переменных:

dx = Δ x, dy = Δ y.

Тогда дифференциал функции можно записать в виде

.

Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке М есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х и Δ у:

Δ z - dz = o (Δ x, Δ y).

Отбрасывая при достаточно малых Δ х и Δ у величину o (Δ x, Δ y), получаем приближенную формулу Δ z» dz, из которой вытекает формула линеаризации для функции многих переменных:

.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 

Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: .

 

ПРИМЕР 1. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение
называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

32. Формула Маклорена для е^х

Формула Маклорена для sinx

Формула Маклорена для cosx

35. Формула Маклорена для ln(1+x)

 

36. Формула Маклорена для (1+x)^m

где

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

 

Величина z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество точек D называется областью определения функции. Обычно областью определения функции является некоторая часть плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями.

Частными производными функции z = f (x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

 

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.