Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.



Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: .

 

ПРИМЕР 1. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение
называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

32. Формула Маклорена для ех

Формула Маклорена для sinx

Формула Маклорена для cosx

35. Формула Маклорена для ln(1+x)

 

36. Формула Маклорена для (1+x)m

где

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

 

Величина z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество точек D называется областью определения функции. Обычно областью определения функции является некоторая часть плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями.

Частными производными функции z = f (x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

 
 


при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

 
 


при вычислении считают x = const.

 

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Полный дифференциал функции двух переменных и его применение к приближённым вычислениям.

Дифференциал функции

Функция z = f (M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов:

Δ z = A Δ x + B Δ y + ox, Δ y) (1)

где

.

Определение. Дифференциалом функции z = f (M) в точке М называется линейная относительно приращений аргументов Δ x и Δ у часть полного приращения этой функции в этой точке:

d z = A ·Δ x + B ·Δ y. (2)

Связь дифференциала с частными производными

В выражении дифференциала (2) величины А и В равны частным производным функции по соответствующим переменным:

и .

Доказательство. Зафиксируем переменную у, так что она не получает приращения Δ y = 0. В этом случае полное приращение функции Δ z становится частным по переменной х и формула (1) принимает вид

Δx z = A ·Δ x + ox).

Откуда

. (3)

Переходя к пределу в обеих частях соотношения (3), получим

,

откуда, в силу определения частной производной и определения бесконечно малой более высокого порядка, чем Δ х, получим . Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается соотношение .
С учётом этого дифференциал (2) можно записать в виде

(4)

Из (4) следует, что дифференциалами независимых переменных х и у являются приращения этих переменных:

dx = Δ x, dy = Δ y.

Тогда дифференциал функции можно записать в виде

.

Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке М есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х и Δ у:

Δ z - dz = ox, Δ y).

Отбрасывая при достаточно малых Δ х и Δ у величину ox, Δ y), получаем приближенную формулу Δ z» dz, из которой вытекает формула линеаризации для функции многих переменных:

.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 

Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: .

 

ПРИМЕР 1. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение
называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

32. Формула Маклорена для ех

Формула Маклорена для sinx

Формула Маклорена для cosx

35. Формула Маклорена для ln(1+x)

 

36. Формула Маклорена для (1+x)m

где

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

 

Величина z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество точек D называется областью определения функции. Обычно областью определения функции является некоторая часть плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями.

Частными производными функции z = f (x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

 
 


при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

 
 


при вычислении считают x = const.

 

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; просмотров: 802; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.208.25.215 (0.022 с.)