Производная неявной функции нескольких переменных.

 

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F (x, y) = 0, где F (x, y), F ^' _x (x, y), F ' _y (x, y) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x, y) = 0, F ' _y (x, y) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

.

Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F ' _y (x, y) > 0. Так как производная F ' _y (x, y) непрерывна, то можно построить квадрат [ х ₀ - δ', х ₀ + δ', у ₀ - δ', у ₀ + δ' ], чтобы для всех его точек было F '_y (x, y) > 0, то есть F (x, y) является монотонной по у при фиксированном х. Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x), такой, что F (x, f (x)) º 0.
Зададим приращение Δ х. Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Очевидно, что

Δ F = F (x + Δ x, y + Δ y) − F (x, y) = 0

и в этом случае

, (7)

где

.

Из (7) имеем

.

 

Так как неявная функция у = f (x) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

.

Что и требовалось доказать.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

 

Пусть частные производные функции z = f (x, y), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y) = δ [ f ' (x) d x ] = [ f ' (x) d x ] ' δ x = f '' (x) d (x) δ x.

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d ² y, т.е.

d ² y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d ² y) от дифференциала d ² y, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f (x) и обозначается d ³ y и т.д. Дифференциал δ(d ^n-1y) от дифференциала d^{n -1} f, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x) и обозначается dⁿy.
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

dⁿy = y ⁽ⁿ⁾·(dx) ⁿ, n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

d^{n −1} y = y^{(n −1)}·(dx) ^{n −1},

и функция y ^{(n -1)}(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда

Полагая δ x = dx, получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f (x) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

 

Производная по направлению функций нескольких переменных.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т. М ₀ с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u (x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Градиент функции. Связь между производной по направлению и градиентом функции.

Градиентом функции u (х ₁, х ₂,…, х _n) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u:

В нашем случае Таким образом, производная по направлению равна:

, где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l):

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т. М ₀.

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .