Тема: Многочлени від однієї змінної.

План.

1. Кільце многочленів від однієї змінної.

2. Відношення подільності в кільці многочленів.

3. Ділення з остачею. Ідеали кільця многочленів.

4. Теорема Безу.

5. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

6. Найменше спільне кратне двох многочленів.

7. Звідні та незвідні многочлени над полем.

Короткий зміст лекції:

Нехай K – довільна область цілісності з одиницею і R – її підкільце з одиницею.

Означення 1. Елемент х K називається алгебраїчним над кільцем R, якщо в R існують такі елементи a₀, a₁, …, a_n, які не всі дорівнюють 0, що a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ = 0.

Елемент, який не є алгебраїчним над R, називається трансцендентним над R.

Означення 2. Мінімальне розширення кільця R, яке містить трансцендентний над R елемент х, називається простим трансцендентним розширенням кільця R, або кільцем многочленів від однієї змінної над R, позначається через R [ x ].

Елементи цього кільця називають многочленами від х над R, позначають символами f(x), g(x) і т. д.

Нуль кільця R [ x ] називають нульовим многочленом або нуль-многочленом.

Будь-який ненульовий многочлен f(x) можна подати у вигляді:

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀; a_i R, a_n 0.

Кільце многочленів R [ x ] є областю цілісності.

Алгебраїчна рівність многочленів: Два многочлени з кільця R [ x ] рівні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти.

Кожен многочлен f(x) з кільця R [ x ] визначає відображення таке, що .

Функціональна рівність многочленів: Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени f(x), g(x) R [ x ] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції і , які вони визначають.

Алгебраїчне і функціональне тлумачення многочленів рівносильні над областю цілісності характеристики 0.

Нехай Р – поле.

Означення 3. Многочлен f(x) P [ x ] ділиться на g(x) P [ x ], якщо існує многочлен s(x) P [ x ] такий, що f(x) = g(x) s(x), позначається f(x) g(x), або g(x)/f(x).

Означення 4. Многочлен f(x) P [ x ] ділиться з остачею на многочлен g(x) P [ x ], g(x) 0, якщо в P [ x ] існують такі многочлени s(x) і r(x), що f(x) = g(x) s(x)+r(x); причому r(x) = 0, або степінь r(x) менше степені g(x).

Теорема (про ділення з остачею). Довільний многочлен f(x) P [ x ] ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен g(x) з цього кільця, причому частка і остача визначаються однозначно.

Кільце P [ x ] многочленів над полем Р є кільцем головних ідеалів.

Кільце многочленів Р [ x ] над полем Р є евклідовим.

Теорема Безу. Для будь-якого елемента з поля Р остача при діленні многочлена f(x) P [ x ] на (х - ) дорівнює f ().

Означення 5. Якщо многочлен d(x) – дільник многочленів f(x) і g(x), то він називається спільним дільником цих многочленів.

Означення 6. Спільний дільник многочленів f(x) і g(x), який ділиться на будь-який спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником (НСД) многочленів f(x) і g(x), позначається (f, g).

Для знаходження НСД f і g застосовується алгоритм ділення з остачею (алгоритм Евкліда):

F = g q₁+r₁;

G = r₁ q₂+r₂;

…………

r_k-2 = r_k-1 q_k+r_k;

r_k-1 = r_k q_k+1.

r_k (x) є НСД многочленів f і g.

Означення 7.Спільним кратним многочленів f, g P [ x ] називається будь-який многочлен s(x) P [ x ] такий, що s(x) f(x) і s(x) g(x).

Означення 8.Найменшим спільним кратним многочленів f і g називається спільне кратне f і g, яке ділить будь-яке спільне кратне цих многочленів, позначається НСК або [ f, g ].

Для будь-яких многочленів f і g P[ x ]

.

Означення 9. Многочлен f(x) P [ x ] називається звідним в P [ x ], якщо степінь f 1 і існують такі многочлени g, s P [ x ], що f = g s, причому степінь g 1 і степінь s 1.

Означення 10. Многочлен f(x) P [ x ] називається незвідним в P [ x ], якщо він не є многочленом нульового степеня і немає в P [ x ] дільників, відмінних від елементів поля Р та асоційованих з ним, тобто дільників вигляду cf, c P.

Контрольні запитання для самоперевірки.

1. Довести, що многочлени від однієї змінної з коефіцієнтами з будь-якого поля Р утворюють кільце.

2. Перерахувати найпростіші властивості подільності многочленів.

3. Доведіть теорему про ділення з остачею.

4. Дайте означення найбільшого спільного дільника двох многочленів.

5. В чому суть алгоритму Евкліда для многочленів?

6. Доведіть, що НСД двох многочленів над полем Р є многочлен над полем Р, що визначається з точністю до множника нульового степеня.

7. Доведіть, якщо d(x) – НСД многочленів f(x) і g(x) над полем Р, то існують многочлени (х) і (х) над тим же полем, що

d(x) = f(x) (x)+g(x) (x).

1. Як знайти НСД трьох многочленів?

2. Які многочлени називаються взаємно простими?

3. Який многочлен називається незвідним над полем Р?

4. Доведіть, якщо незвідний многочлен р(х) ділиться на многочлен q(x) ненульового степеня, то p(x) = c q(x), де c P.

5. Доведіть, якщо р(х) – незвідний многочлен, f(x) – будь-який многочлен над полем Р, то або f(x) ділиться на р(х), або многочлени f(x) і р(х) взаємно прості.

6. Доведіть, якщо добуток f(x) (x) двох многочленів ділиться на незвідний многочлен р(х), то один із співмножників ділиться на р(х).

7. Доведіть, що кільце многочленів Р [ x ] є кільце головних ідеалів.

Література: [4], гл.V, 21,22; [1], гл. 10, 47; [3], гл. 14, 1,2.

Лекція 10.

Тема: Корені многочлена.

План.

1. Ділення многочлена на двочлен х-а. Схема Горнера.

2. Корені многочлена. Кратні корені.

3. Похідна многочлена.

4. Теорема про кратні множники многочлена.

5. Теорема про спряжені корені.

6. Відокремлення кратних множників многочлена.

 

Короткий зміст лекції.

Схема Горнера ділення многочлена f(x) на двочлен х-а.

Нехай f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀.

g(x) = x-a.

За теоремою про ділення з остачею маємо:

(*) f(x) = (x-a) q(x)+r(x), r(x) = 0 або r 0.

Q(x) = b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀.

Рівність (*) запишемо у вигляді таблиці,

	an	an-1	an-2	…	a1	a0
	bn-1 = an	bn-2= bn-1+an-1	bn-3= bn-1+an-1		b0= b1+a1	r= b0+a0

яка називається схемою Горнера ділення многочлена f(x) на двочлен х-а.

Означення 1. Число називається коренем многочлена f(x), якщо він при х = дорівнює нулю, тобто f () = 0.

Означення 2. Число називається кратним коренем многочлена f(x), (k >1), якщо f(x) ділиться на многочлен (х - ) ^k, але не ділиться на многочлен (х- )^{k +1} (при k = 1 корінь називається простим).

Означення 3.Похідною многочлена f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ називають многочлен f^’(x) = na_nx^n-1+(n- 1 )a_n-1x^n-2+…+ 2 a₂x+a₁.

Похідна многочлена нульового степеня і нуль-многочлена дорівнює нулю. Якщо поле Р має характеристику нуль, то для кожного многочлена f(x) P [ x ] такого, що степінь f(x) 1, виконується рівність: степінь f^’(x) = степеню f -1.

Означення 4. Елемент Р називається коренем многочлена f(x) P [ x ], якщо f(x) ділиться на х - .

Означення 1) і 4) рівносильні.

Для того, щоб елемент а Р характеристики нуль був коренем кратності K для многочлена f(x) P [ x ] необхідно і достатньо, щоб

f(a) = f^’(a) = … =f^k-1(a); f^(k)(a) 0.

Якщо а Р – корінь кратності k >1 многочлена f(x) P [ x ],то він є коренем кратності (k -1) многочлена f^’(x).

Многочлен f(x) має корінь кратності k >1 тоді і тільки тоді, коли (f, f^’) = 1.

Теорема про спряжені корені многочлена. Якщо комплексне число є коренем многочлена f(x) з дійсними коефіцієнтами, то коренем для f(x) буде і спряжене число .

Відокремлення кратних множників:

Кожний многочлен f над полем Р можна представити у вигляді

,

де Ф_i – добуток тих многочленів, кратність яких в f дорівнює i.

Якщо f кратних множників немає, то

F = Ф₁,

;

де не ділиться на .

Знаходимо НСД многочленів f і f^’:

d ₁ = d (f, f^’) =

Знаходимо і т. д.

Одержуємо рівності:

;

d₁ = ;

d₂ =

…………….

d_m-2 =

d_m-1 =

d_m = 1

Для знаходження Ф_i i = 1,2,3,…, m побудуємо многочлени:

Q₁ = = ,

Q₂ = = ,

Q₃ = = ,

……………

q_m-1 = = ,

q_m = = .

звідси,

= ; = ;...; = q_m.

Теорема. Будь-який многочлен f(x) степеня n над полем комплексних чисел С має n коренів з урахуванням їх кратності.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Які задачі можна розв’язувати, застосовуючи схему Горнера?

2. Що називається коренем многочлена?

3. Доведіть, що х = а тоді і тільки тоді є коренем многочлена f(x), якщо f(x) ділиться на (х-а).

4. Вивести формулу Тейлора для мночлена над будь-яким полем Р.

5. Як використовується схема Горнера для розкладу многочлена за формулою Тейлора?

6. Який корінь многочлена називається кратним?

7. Як визначається кратність кореня?

8. Як відокремити кратні корені многочлена?

9. Яку найбільшу кількість коренів може мати многочлен n -го степеня?

Література: [4], гл. V, 23; [1], гл. 10, 49; [10], гл. 3, 1.1; 1.2; [2], гл. 6, 1.

 

Лекція 11.