Параграф 5. Количество корней многочлена

Пусть дан полином с действительными коэффициентами.

Для оценки количества корней используется система Штурма и система производных.

Система Штурма:

Данная система применяется для многочленов с действительными коэффициентами в предположении, что он не имеет кратных корней.

Система полиномов f(0),f(1),…f(k) (*) называется системой Штурма, если выполнены следующие условия:

1) Соседние полиномы в наборе (*) не должны иметь общих корней.

2) Последний полином f(k) не должен иметь корней (т.е должен быть полиномом нулевой степени. Константой)

3) Пусть a- действительный корень f(i), i=2,k-1 и для этого корня многочлены должны иметь разные знаки.

Пусть С не является корнем полинома f. Используя данное число определяется величина w(c), которая называется количеством перемен знаков в системе Штурма.

Теорема Штура:

Если действительные числа а и в(a<b) не являются корнями полинома f, не имеющего кратных корней, то имеет место

Где М – количество действительных корней полинома f заключены между а и в.

Теорема о существовании системы Штурма:

Всякий многочлен с действительными коэффициентами и не имеющих корней обладает системой Штурма.

Примечание (К теореме Штурма):

Если переменная x подходит через корень многочлена f, то величина w(x) изменяет свое значение ровно на единицу (в меньшую сторону).

Практический метод построения системы Штурма:

1) В качестве f(0) выбираем исходный полином.

2) F(1) – первая производная исходного полинома

3) Остаток от деления шага 1 на шаг 2 с противоположным знаком. (ывполняемо для последующих шагов)

Пусть дан многочлен ненулевой степени n.

Рассмотрим производные данного многочлена, начиная от нулевой производной и заканчивая n-1 (константа).(*)

Для определения количества корней заключенных между a и b можно воспользоваться теоремой Штурма. НО! Недостатком этого подхода будет является предположении об отсутствии кратных корней. Так же подсчитывается количество перемен знаков в системе (*)

Рассмотрим число С (С принадлежит (a;b)) которое НЕ является корнем многочлена f, но оно может оказаться корнем каких-либо многочленов из системы (*), тоесть имеет место следующее:

Но при этом число C Не является корнем

Введем следующие функции подсчета числа перемен знаков в системе (*):

Значение перемен знаков с учетом пунктов (а) и (в)

значению перемен знаков; Считается, что знак с учетом пунктов (а) и (в) знак равен знаку если разность l-I (i=0,l-1) при подсчете производных является четной, и будет иметь противоположный знак, если разность не четная. (Вобще не понял что написано, но пярм так и сказано)

Примечание к знаку числа

Знак многочлена в пункте (а), равных нулю, считается равным знаку последнего ненулевого числа

Теорема Бюдана-Фурье:

Если действительные числа а и в не являются корнями многочлена f(x) с действительными коэффициентами, то количество действительных корней заключенных между а и в равно разности если меньше этой разности на четное число, при условии подсчета кратности корней f(x)

Теорема Декарта:

Число положительных корней многочлена f(x) подсчитываемых столько раз, какова их кратность, равна числу количества перемен знаков в системе коэффициентов или меньше этого количества на четное число.

Обобщенная теорема Виетта:

-аналогично а1 только по три, а не по 2.

И так далее по аналогии.

Интерполяционный многочлен Лагранжа:

Эта формула позволяет построить многочлен степени не ниже k, по заранее заданным k переменных (их значениям) и собственным значениям функции в этих точках.

Вычисления корней кубических многочленов:

Пусть дано кубическое уравнение вида (в приведенной форме):

Производится подстановка вида

И уравнение сводится к виду:

Формулы Кардано:

Для получения корней кубического уравнения можно найти соответствующие значения выражений а и в, но их нельзя комбинировать в произвольном порядке.

Пусть а(1) один из корней выражения «альфа». Оставшиеся а2 и а3 находим по правилам:

А2=а1*е

А3=а1*е^2, где е – первообразный кубический корень из …(Какой то хрени. Не могу понять)

Аналогичным образом считаем значения .

Таким образом корни кубического уравнения могут быть найдены по формулам:

Заведем понятие дискриминанта для кубического уравнения с действительными коэффициентами:

Если D>0 то уравнение имеет 3 действительных корня.

D<0 уравнение имеет 1 действительных и 2 комплексно сопряженных.

D=0 уравнение имеет 3 действительны корня, 2 из которых кратные(одинаковые)

Уравнения четвертой степени:

Производится подстановка вида

И уравнение сводится к виду

Для решения уравнения (2) будем использовать корни дополнительного уравнения, через которые будут выражены корни исходного уравнения.

Дополнительное уравнение:

Уравнение 3 является кубическим уравнением, зависящем от неизвестной а, корни данного уравнения находятся с помощью формулы кордано.

И пусть например а(0) – один из корней уравнения (3)

Используя корень a(0) решаем систему уравнений:

Решая каждое уравнение систему (4) получаем корни исходного уравнения.