Властивості симетричних многочленів.

1. Множина усіх симетричних многочленів від n змінних над полем Р утворює область цілісності з одиницею.

2. Якщо симетричний многочлен f () містить деякий член , то він містить і член, утворений з даного перестановкою показників k ₁+ k ₂+…+ k_n.

3. Якщо – вищий член симетричного многочлена, то k ₁ k ₂ … k_n.

Означення 7. Симетричні многочлени

;

;

..............

називають елементарними симетричними многочленами.

Теорема про симетричні многочлени. Будь-який симетричний многочлен f () від n змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів цих змінних з коефіцієнтами того самого поля Р. Таке зображення є єдиним.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть, що многочлени від n змінних з коефіцієнтами з поля Р утворюють кільце.

2. Дайте означення симетричного многочлена.

3. Доведіть, що симетричні многочлени від змінних з коефіцієнтами поля Р утворюють кільце.

4. Які многочлени називають основними симетричними многочленами?

5. Доведіть, що будь-який симетричний многочлен над полем Р від n змінних можна подати у вигляді многочлена від основних (елементарних) симетричних многочленів від тих же змінних.

6. Доведіть, що будь-який симетричний многочлен від коренів многочлена f(x) раціонально виражається через його коефіцієнти.

7. Обчисліть суму k-x степенів коренів рівняння a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n =0, k n.

8. Доведіть, що кільце многочленів P [ x, y ] над полем Р не є кільцем головних ідеалів.

Література: [3], гл. 15, 1, 2; [1], гл. 11, 51, 52; [4], гл. VI, 25, 26.

 

Лекція 13.

Тема: Результант многочленів.

План.

1. Результант многочленів.

2. Дискримінант.

3. Розвязання системи алгебраїчних рівнянь.

 

Короткій зміст лекції

Означення 1. Результантом многочленів

називається вираз

,

де , ,..., - корені многочлена .

Результант двох многочленів над полем Р є елемент цього ж поля.

 

Результант у формі Сильвестра.

 

Результант у формі Сильвестра виражається через коефіцієнти многочленів f і g у вигляді визначника (m+n) порядку:

 

= … 0 … 0

… … 0

…………………………… рядків

0 … 0 … … 0

0 … 0 … 0.. …

0.. 0 … 0

0 … … 0

…………………………… рядків

0 … 0 … 0

0 … 0 … …

 

Для складання визначника Сильвестра достатньо m разів підряд записати коефіцієнти многочлена , починаючи кожний наступний запис із наступного стовпчика, те ж саме зробити n разів з коефіцієнтами многочлена .

Отже, результант многочленів ; будемо розуміти як визначник Сильвестра для цих многочленів.

Теорема 1. Для того, щоб многочлени і мали спільний корінь необхідно і достатньо, щоб їх результант дорівнював нулю.

Означення 2.Дискримінантом многочлена Є називається елемент поля Р

= ,

де - результант многочлена та його похідної .

Теорема 2. Многочлен має кратний корінь тоді і тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо результант многочленів і дорівнює нулю, то або многочлени і мають спільний корінь, або старші коефіцієнти обох многочленів дорівнюють нулю.

Теорема 4. Якщо многочлени і мають спільний корінь, то їх результант дорівнює нулю.

Нехай задано систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими з коефіцієнтами із поля Р:

Схема виключення невідомих з цієї системи така:

1) упорядковуємо многочлени і за спадними степенями одного із змінних, наприклад x;

2) складаємо результант , розглядаючи змінну як параметр;

3) знаходимо всі корені результанта ;

4) підставляємо в задану систему замість змінної значення ;

дістаємо сукупність L систем двох рівнянь з одним невідомим x;

5) розв’язуємо цю сукупність систем рівнянь і складаємо відповідні пари розв’язків.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте означення результанта двох многочленів.

2. Як записується результант двох многочленів у формі Сильвестра?

3. Доведіть, якщо многочлени мають спільний корінь, то їх результант дорівнює нулю

4. Дайте означення дискримінанта многочлена.

5. Доведіть, якщо многочлен має кратний корінь, то його дискримінант дорівнює нулю.

6. Як за допомогою результанта розв’язати систему двох рівнянь з двома невідомими?

Література: , гл.15, § 3, , гл. 6, § 27.

 

Лекція 14.

Тема: Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу.

План.

1. Основні методи позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу.

 

Короткий зміст лекції.

Основні факти, на яких ґрунтуються методи позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу:

1. Якщо - многочлен від однієї змінної над полем P з коренями , ,..., (які можуть не належати полю P), то будь-який симетричний многочлен над полем P при = ; = ,..., = набуває значення, яке є елементом поля P.

2. Поле , утворене з числового поля P приєднанням кореня , незвідного у полі P многочлена n -го степеня , складається з усіх чисел виду , де , ,..., - будь-які числа з поля P.

Нехай - корінь незвідного над полем P многочлена . Позбавимося від ірраціональності в знаменнику дробу , де і - многочлени степенів k і m (k<n -1; m n -1) – це означає перетворити цей дріб в цілий раціональний вираз над тим же полем P:

= .

 

Розглянемо деякі способи розв’язання цієї задачі.

I.Так як степінь g(x) =m n -1, а - незвідний над P, то і над полем P взаємно прості.

Тому має місце рівність:

, (*)

де і - многочлени над P.

При із (*) одержуємо (при умові, що =0).

звідси, = .

Якщо h(x) має степінь то із рівності , де степінь k(x)<n, при , одержуємо:

II. Застосування формул скороченого множення:

III. Якщо в знаменнику дробу є кілька радикалів, то їх можна поступово позбуватися одним із вище розглянутих способів.

IV. Застосування елементарних симетричних многочленів та степеневих сум.

Контрольні питання для самоперевірки

1. В чому полягає задача позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу?

2. На яких основних фактах ґрунтується розв’язання цієї задачі?

3. Назвіть основні способи розв’язання даної задачі.

4. Позбавтеся від алгебраїчної ірраціональності в знаменниках дробів:

Література: гл.6,§ 26, 33; гл. 17, § 2, , § 23

 

Лекція 15.

Тема: Многочлени над числовими полями.

План.

1. Многочлени над полем комплексних чисел.

2. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

3. Розкладання многочлена над полем дійсних чисел у добуток незвідних множників.

4. Рівняння третього і четвертого степенів.

Короткий зміст лекції.

Нехай f(x) – деякий многочлен над полем P. Якщо степінь , то існує розширення К поля Р, в якому міститься деякий корінь многочлена f(x).

Звідси випливає, що для будь-якого многочлена f(x) є Р степеня існує таке розширення L поля Р, що f(x) можна подати в у вигляді добутку лінійних многочленів.

Означення 1. Поле Р називається алгебраїчно замкненим, якщо кожний многочлен із кільця розкладається на лінійні множники.

Отже, поле Р алгебраїчно замкнене, якщо незвідними над полем Р є лише многочлени першого степеня.

Якщо будь-який многочлен f є Р має в Р хоч один корінь, то поле Р алгебраїчно замкнене.

Теорема 1. Поле комплексних чисел С алгебраїчно замкнене.

Теорема 2. Многочлен непарного степеня над полем R дійсних чисел має хоча б один дійсний корінь.

Теорема 3. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має хоч би один комплексний корінь.

Теорема 4. (Основна теорема алгебри комплексних чисел). Кожний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоч би один комплексний корінь.

Теорема 5. Кожний многочлен степеня >1 є звідним над полем комплексних чисел.

Теорема 6. Кожний многочлен n -го степеня над полем комплексних чисел єдиним способом розкладається у добуток лінійних множників над цим полем:

де , ,..., - корені, - старший коефіцієнт f(z).

Теорема 7. Многочлен n -го степеня в полі комплексних чисел має точно n - коренів.

Оскільки дійсні числа є підполем поля С комплексних чисел, то всі вище перераховані результати стверджуються і для многочленів з дійсними коефіцієнтами, тобто будь–який многочлен n -го степеня з дійсними коефіцієнтами має точно n комплексних коренів.

Теорема 8. Кожний многочлен з дійсними коефіцієнтами, степінь якого перевищує 2, звідний над полем R дійсних чисел.

Теорема 9. Кожний многочлен f(z) з дійсними коефіцієнтами єдиним способом розкладається над полем R у добуток лінійних многочленів і квадратних трьохчленів:

Розв’язання рівнянь третього степеня:

Підстановкою перетворюємо це рівняння до вигляду:

в якому відсутній член з . Достатньо вміти розв’язувати кубічне рівняння . (*)

Нехай , тоді одержуємо рівняння:

Накладаємо на і додаткову умову: , одержуємо рівняння:

Знаходження коренів звелося до розв’язання системи рівнянь

;

;

де - дискримінант кубічного рівняння (*).

Тоді + - формула Кардано для знаходження коренів кубічного рівняння.

Рівняння 4-го степеня.

Метод Феррарі розв’язування рівняння четвертого степеня.

До обох частин рівняння додаємо :

.

До обох частин одержаної рівності додамо ще , де t- допоміжне невідоме:

.

Підберемо значення t так, щоб права частина останнього рівняння стала новим квадратом вигляду .Для цього треба виконання умов:

; ; .

Після перетворень одержуємо рівняння:

,

яке є кубічною резольвентою даного рівняння четвертого степеня. Якщо - будь-який корінь останнього рівняння, то одержуємо сукупність рівнянь:

Корені цих рівнянь дають всі розв’язки рівняння

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть теорему про існування кореня многочлена над полем комплексних чисел.

2. Доведіть, що над полем комплексних чисел многочлен n -го степеня має n коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

3. Доведіть, що над полем комплексних чисел кожен многочлен, степінь якого вище першого, звідний.

4. Яка залежність між коефіцієнтами і коренями многочлена?

5. Доведіть, що для многочлена з дійсними коефіцієнтами комплексно спряженим значенням х відповідають комплексно спряжені значення f(x).

6. Доведіть, що над полем дійсних чисел будь-який многочлен, степеня вище 2, звідний.

7. Доведіть, що многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоч би один дійсний корінь.

8. Розв’яжіть кубічне рівняння

9. Розв’яжіть рівняння 4-го степеня

Література:. , § 3,1; гл.16; , § 30; , § 28, 29; , § 23, 24; , гл.6, § 3.

 

Лекція 16.

Тема: Відокремлення дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

План.

1. Межі дійсних коренів.

2. Число дійсних коренів.

3. Відокремлення дійсних коренів. Метод Штурма.

Короткий зміст лекції.

Нехай - многочлен з комплексними коефіцієнтами;

Тоді всі корені многочлена f(z) знаходяться в середині круга з центром у початку координат і радіусом .

Якщо f(z) має дійсні корені то вони розміщені в інтервалі - ; [.

Число дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу від’ємних коренів многочлена f(z).

Метод Ньютона знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами:

Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена f(z), якщо при x=M многочлен f(x) має додатне значення, а всі його похідні – невід’ємне значення.

Якщо і - верхні межі відповідно додатних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами f(x), , то додатні корені многочлена f(x) знаходяться в проміжку , а від’ємні – в проміжку

Нехай - деяка впорядкована послідовність дійсних чисел.

Означення 1. Кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки, називають кількістю змін знаків даної послідовності.

Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами дорівнює або на парне число менше кількості змін знаків у послідовності його коефіцієнтів.

Задача відокремлення дійсних коренів многочлена f(x) полягає в знаходженні тих інтервалів, у кожному з яких лежить тільки один корінь.

Метод Штурма відокремлення дійсних коренів многочлена f(x).

Нехай f(x) не має кратних коренів. Для многочлена f(x) будуємо ряд Штурма:

.

Для знаходження многочленів , застосовуємо алгоритм аналогічний алгоритму Евкліда:

де =- , тобто всі остачі беруться з протилежним знаком.

Теорема Штурма. Якщо a, b – довільні дійсні числа, які не є коренями многочлена f(x), то число р дійсних коренів многочлена f(x) в інтервалі ]a:b[ дорівнює p=S(a) – S(b), де S(a); S(b) – кількість змін знаків у ряді Штурма відповідно при x=a і x=b.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть, якщо А - найбільший з модулів коефіцієнтів многочлена, не враховуючи , то всі корені многочлена за модулем не перевищують ;

2. Доведіть, якщо при х = а значення многочлена і всіх його похідних додатні, то всі корені многочлена менші а.

3. Що являють собою многочлени Штурма?

4. Доведіть, якщо f(x) – многочлен з дійсними коефіцієнтами, який немає кратних коренів, то

а) останній з його многочленів Штурма не залежить від х;

б) два сусідніх многочлени Штурма не дорівнюють нулеві при одному і тому ж значенні х;

в) якщо один з многочленів Штурма при х=а перетворюється в нуль, то сусідні з ним многочлени Штурма при х=а приймають значення різних знаків;

г) якщо один із проміжних множників Штурма перетворюється в нуль, то число змін знаків в ряду Штурма не змінюється;

д) при перетворенні в нуль самого многочлена f(х) в ряду його многочленів Штурма загублюється одна змінна знака.

5. Відокремити дійсні корені многочлена

Література: [4] § 31;[3]гл.16, §4;[1] §39-41;[12] §15,16;[2]глю6, §4.

Лекція 17.

Тема: Многочлен над полем раціональних чисел.

План.

1. Звідність і незвідність многочленів над полем раціональних чисел.

2. Критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами.

3. Раціональні корені многочленів з раціональними коефіцієнтами.

Короткий зміст лекції.

Існують многочлени з раціональними коефіцієнтами довільного степеня, які є незвідними над полем раціональних чисел.

Будь–яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівносильного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Означення 1. Многочлен р(х) з цілими коефіцієнтами називається примітивним, якщо його коефіцієнти не мають спільних дільників, відмінних від 1.

Лема. Добуток двох примітивних многочленів є примітивний многочлен.

Теорема 1. Для того, щоб многочлен f(х) з цілими коефіцієнтами був звідним над полем раціональних чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідним над кільцем Z цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Теорема 2 (Ейзенштейна). Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти діляться на деяке просте число р, причому не ділиться на р , а старший коефіцієнт не ділиться на р, то многочлен f(х) незвідний над полем раціональних чисел.

Теорема 3. В кільці многочленів над полем раціональних чисел існують незвідні многочлени будь–якого степеня.

Терема 4. Якщо многочлен 3-го степеня f(х) з раціональними коефіцієнтами немає раціональних коренів, то він є незвідним над полем раціональних чисел.

Теорема 5. Якщо , де p і q – взаємно прості числа, є коренем рівняння = 0 з цілими коефіцієнтами, то .

Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені цього рівняння є цілими числами і дільниками вільного члена.

Теорема 6. Для того, щоб число , де (p, q)=1, було коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , необхідно, щоб при довільному цілому к число f(к) ділилося на p-qk (p-q 0).

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть, якщо р – просте число і n – будь –яке ціле додатне число, то многочлен незвідний в кільці Q [ x ].

2. Доведіть, що многочлен f з цілими коефіцієнтами немає цілих коренів, якщо f (0) і f (1)- непарні числа.

3. Доведіть, що многочлен , де р- просте число є незвідним над полем раціональних чисел.

4. Розкласти многочлени і на незвідні множники над полем раціональних чисел.

5. Доведіть, що многочлен з цілими коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, немає дробових коренів.

6. Доведіть, що цілі корені многочлена з цілими коефіцієнтами є дільниками вільного члена.

7. Як знайти всі дільники числа , де - різні прості числа.

8. Як знайти всі раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами?

Література: [4], §32;[3],гл.17§1;[1] §56,57,[12] §17,18.

 

 

Лекція 18.

Тема: Алгебраїчні числа. Розширення полів.

План.

1. Мінімальний многочлен алгебраїчного числа.

2. Будова простого алгебраїчного розширення поля.

3. Степінь розширення поля Р.

4. Скінчене розширення поля.

5. Алгебраїчне розширення поля.

6. Простість складеного алгебраїчного розширення.

7. Поле алгебраїчних чисел і його алгебраїчна замкненість.

Короткий зміст лекції.

Означення 1. Нехай Р [ х ] – кільце многочленів від х над полем Р, де Р – підполе поля F. Елемент є F називається алгебраїчним над полем Р, якщо є коренем многочлена із Р [ х ].

Означення 2. Число називається алгебраїчним, якщо воно є коренем будь-якого многочлена з раціональними коефіцієнтами.

Означення 3. Нормований многочлен , незвідний над полем F, який має своїм коренем, називається мінімальним многочленом числа , а його степінь n – степенем алгебраїчного числа відносно поля F.

Означення 4.Мінімальним полем Р(М), яке містить числову множину М, називається поле, яке є перетином всіх числових полів, які містять множину М.

Означення 5. Мінімальне розширення поля?, яке містить число ?, називають розширенням поля?, утвореного приєднанням числа , позначають?().

Означення 6. Поле?(), утворене приєднанням до поля? числа , алгебраїчного відносно поля?, називається простим алгебраїчним розширенням поля?.

Теорема 1. Поле?(), утворене із поля? приєднанням кореня незвідного над полем? многочлена n -го степеня

,

складається з усіх чисел вигляду,

,

де - довільні числа із поля?.

Якщо - корінь многочлена другого степеня над полем?

,

причому ?, то просте алгебраїчне розширення?() поля?, утворене приєднанням числа , складається з усіх чисел вигляду a+b , де a і b – будь-які числа із?.

Означення 7. Розширення поля? називається скінченим, якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля? система елементів , що будь – який елемент є є лінійна комбінація цих елементів з коефіцієнтами з поля?:

= .

Система елементів називається базисом поля відносно поля?.

Отже, розширення поля? називається скінченим, якщо є скінчено–вимірним простором над полем?.

Означення 8. Розмірність скінченого розширення називають степенем розширення над полем?, позначають (:?).

Степінь скінченого розширення над полем? дорівнює максимальній кількості елементів поля , які можуть утворювати лінійно незалежну систему.

Теорема 2. Просте алгебраїчне розширення?() є скінченим розширенням поля?, а степінь розширення?() над полем? дорівнює степеню числа над полем?.

Означення 9. Розширення поля?, утворене за допомогою кількох послідовно виконаних простих алгебраїчних розширень, називається складним алгебраїчним розширенням.

Означення 10. Розширення поля? називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля?.

Теорема 3. Будь–яке скінчене розширення поля? є його алгебраїчним та складеним розширенням.

Теорема 4. Кожне складене алгебраїчне розширення поля? є простим розширенням цього поля.

Терема 5. Множина А всіх алгебраїчних чисел замкнена в кінці С комплексних чисел.

Терема 6. Поле алгебраїчних чисел алгебраїчно замкнене.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте озна