Властивості головних ідеалів.

1. Будь-який елемент a K належить породженому ним головному ідеалу: a (a);

2. Головний ідеал породжений нульовим елементом 0, складається лише з цього елемента, а головний ідеал, породжений, одиничним елементом е, співпадає з самим кільцем K: (0)= <0>; (e) = K.

3. Якщо елементи b і c кільця K належать головному ідеалу (а), то і b– c (a).

4. Якщо елемент b належить головному ідеалу (а), то всі елементи вигляду rb, r K також належать (а).

5. Елемент a K ділиться на елемент b K тоді і тільки тоді, коли (a) (b):

a b (a) (b).

6. Асоційовані елементи кільця K породжують один і той же головний ідеал.

7. Головний ідеал породжений зворотнім елементом K, співпадає з K, () = K.

8. Якщо головні ідеали, породжені елементами a і b області цілісності K, співпадають (а) = (b), то елементи a і b асоційовані в K.

Означення 3. Підмножина I кільця K називається ідеалом в K, якщо:

1. З будь-якими двома елементами a і b підмножина I містить їх різницю:

a I b I a–b I.

2. Разом з кожним елементом а підмножина I містить кратні цього елемента:

a I r K ra I.

Кожний головний ідеал кільця K є ідеалом цього кільця.

Будь-який ідеал кільця K є підкільцем в K.

Означення 4. Ідеал I, що складається із елементів вигляду r₁a₁+r₂a₂+…+r_na_n, де a_i – деякі елементи з підмножини A K, r_i K, називається ідеалом, породженим множиною А.

Теорема 1. Перетин I₁ I₂ двох ідеалів I₁ і I₂ кільця K є ідеалом цього ж кільця.

Теорема 2. Перетин будь-якої множини ідеалів кільця K є ідеалом в кільці K.

Найменшим ідеалом, що містить множену А, є перетин усіх ідеалів, що містять цю множину.

Теорема 3. Найменший ідеал I(А) кільця K, що містить підмножину А цього кільця, співпадає з ідеалом (А), породженим підмножиною А.

Означення 5. Ідеал I₁ кільця K ділиться на ідеал I ₂ того ж кільця, якщо I₁ I₂.

Означення 6. Ідеал I кільця K називається найбільшим спільним дільником ідеалів I ₁ і I ₂ цього кільця, якщо

1. I є дільником I ₁ і I ₂;

2. I ділиться на будь-який спільний дільник I ₁ і I ₂.

Теорема 4. Будь-які два ідеали I ₁ і I ₂ кільця K мають найбільший спільний дільник. Ним є ідеал, породжений множиною I₁ I₂, тобто найменший ідеал, що містить ідеали I ₁ і I ₂.

Означення 7. Елементи a і b кільця K конгруентні за ідеалом I, якщо
a-b I, позначається a b (mod I).

Відношення конгруентності елементів із множини деякого кільця K за його ідеалом I є бінарним відношенням еквівалентності.

Класи еквівалентності називають ще класами лишків кільця K за ідеалом I або суміжними класами групи K за підгрупою I.

Множину всіх класів лишків кільця K за його ідеалом I позначають = .

У множині алгебраїчними є операції додавання і множення класів лишків: ; .

Множина відносно цих операцій утворює кільце, яке називають фактор-кільцем кільця K за ідеалом I. Фактор-кільце називають кільцем класів лишків.

Якщо K = Z, а I – ідеал кільця Z, то I – головний ідеал, породжений деяким числом m, m Z. Фактор-кільце позначають Z_m.

Контрольні запитання для самоперевірки.

1. Дайте означення підкільця.

2. Що таке головний ідеал? Який головний ідеал в кільці Z породжується числом 7?

3. У якому випадку елементи а і b кільця K породжують один і той же головний ідеал?

4. У якому випадку головний ідеал, породжений елементом а, співпадає з усім кільцем K? Який головний ідеал породжує елемент 2– в кільці Z [ ]?

5. Як вибрати на “мові ідеалів” твердження: елемент а ділиться на елемент b?

6. Чи є будь-яке підкільце ідеалом? Якій додатковій умові воно повинно задовольняти?

7. Чи є ідеалом в Z [ x ] підкільце, що складається з многочленів, вільний член якого ділиться на 3?

8. Чи є підкільцем в Z [ x ] множина многочленів з додатнім вільним членом?

9. В кільці Z [ ] елемент 2+ зворотній (так як (2+ )(2– ) = 1). Який ідеал породжує в Z [ ] цей елемент?

10. Що означає твердження “ідеал I ₁ ділиться на ідеал I ₂”?

11. Знайдіть ідеал в кільці Z [ x ] многочленів з цілими коефіцієнтами, породжений елементами x ² і 4.

12. Який ідеал називається найбільшим спільним дільником ідеалів I ₁ і I ₂? Які його властивості?

13. Які відомі вам кільця є кільцями головних ідеалів?

14. Напишіть таблиці додавання і множення і .

15. В кільці Z [ x ] многочленів з цілими коефіцієнтами знайдіть ідеал (x ²+1) і побудуйте фактор-кільце ізоморфне кільцю Z [i] цілих гаусових чисел.

16. В кільці Z [ i ] цілих гаусових чисел побудуйте ідеал (i) і фактор-кільце .

Література: [4], гл. III 13; [2], гл. 4, 4 (3). [3], гл. 13, 1.

Лекція 7.