Тема: Гомоморфізми кілець. Евклідові кільця.

План.

1. Гомоморфізми кілець, означення, приклади.

2. Ядро гомоморфізму.

3. Теорема про гомоморфізми.

4. Кільце головних ідеалів.

5. Евклідові кільця.

Короткий зміст лекції:

Означення 1. Відображення кільця K в кільце K^' називається гомоморфізмом K в K^’, якщо виконуються наступні умови:

1. a,b K [ (a+b) = (a)+ (b)];

2. a,b K [ (ab) = (a) (b)].

Взаємно однозначний гомоморфізм називається ізоморфізмом.

Теорема 1. Якщо - гомоморфізм кільця K в кільце K^’, то

1. (0) = 0^’;

2. a K (a) = - (a);

3. (K) є підкільце кільця K ^’;

4. Якщо K – кільце з одиницею е, то (е) – одиничний елемент кільця (K), і якщо для елемента a K в кільці K існує обернений елемент а ^-1, то елемент (а ^-1) обернений елементу (а) кільця (K).

Означення 2. Множина усіх елементів кільця K, які відображаються в 0^’ кільця K ^', називається ядром гомоморфізму кільця K в кільце K^', позначається .

Теорема 2. Ядро будь-якого гомоморфізму кільця K в кільце K ^', є ідеалом кільця K.

Теорема про гомоморфізм кілець. Якщо - гомоморфізм кільця K на кільце K ^’ і - ядро гомоморфізму, то кільце K ^' ізоморфне фактор-кільцю , причому існує такий гомоморфізм кільця на кільце K ^’, що добуток природного гомоморфізму на ізоморфізм є гомоморфізмом .

Замкнена діаграма цих відображень має наступний вигляд:

 

 

Отже, всі кільця, що гомоморфні до кільця K, ізоморфні фактор-кільцям цього кільця.

Означення 3.Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожний ідеал є головним.

Теорема 3. Нехай R – кільце головних ідеалів і будь-які два елемента a і b кільця головних ідеалів мають найбільший спільний дільник d, причому d = ra+sb, де r і s – деякі елементи кільця R.

Теорема 4. Елементи a і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що ra+sb = 1.

Теорема 5. Якщо елемент а взаємно простий з кожним із елементів b і c, то він взаємно простий і з добутком bc цих елементів.

Теорема 6. В кільці головних ідеалів R кожний відмінний від нуля елемент, що не є дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Означення 4. Кільце K називається факторіальним, якщо воно є областю цілісності і будь-який відмінний від нуля незворотній елемент кільця однозначно розкладається на прості множники.

Кільце головних ідеалів факторіальне.

Означення 5. Область цілісності R з одиницею називається евклідовим кільцем, якщо існує відображення множини відмінних від нуля елементів цієї області цілісності у множину цілих невід’ємних чисел N ⁰, тобто , яке задовольняє умові: a,b R, b 0 в R існують такі елементи q і r, що a = bq+r, причому або r = 0, або (r)< (b).

Теорема 7. Кожне евклідове кільце R є кільцем головних ідеалів.

Отже, евклідове кільце факторіальне. Кільце цілих чисел Z є кільцем головних ідеалів, отже, воно факторіальне.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте означення гомоморфізму кілець Які кільця називають ізоморфними?

2. Нехай R кільце із елементів a,b,c з правилами дій, вказаних в таблицях:

	a	b	c		+	a	b	c
a	a	a	a		a	a	b	c
b	a	b	c		b	b	c	a
c	a	c	b		c	c	a	b

 

Поставимо у відповідність цілому числу х елемент а, якщо х ділиться на 3, елемент b, якщо остача від ділення х на 3 дорівнює 1, і елемент с, якщо остача дорівнює 2.

Покажіть, що це відображення є гомоморфним відображенням Z на R.

3. Що називається ядром гомоморфізму? Чи можна бути будь-яка підмножина кільця ядром гомоморфізму?

4. Чи може бути будь-який ідеал ядром гомоморфізму?

В кожному класі лишків за ідеалом (х ²) в кільці Z [ x ] є многочлен першого степеня a+bx. Як визначити додавання та множення таких многочленів, щоб одержалося кільце, ізоморфне фактор-кільцю ?

5. Дайте означення кільця головних ідеалів, евклідового кільця.

6. Доведіть що кільце Z [ ] з нормою Nr (a+b ) = (a ²–2 b ²) a,b Z є евклідовим.

Література: [4], гл. III, 13,14; [2] гл. 4, 4(3); [3] гл. 13, 1.

Лекція 8.

Тема: Поле.

План.

1. Означення поля, приклади полів.

2. Властивості полів.

3. Характеристика поля.

4. Підполе.

5. Поле часток.

Короткий зміст лекції.

Означення 1. Комутативне кільце Р називається полем, якщо в ньому є як найменше один елемент, відмінний від нуля і виконується операція ділення, крім ділення на нуль, тобто для a,b P, а 0 існує в Р елемент q, що aq = b. Елемент q називають часткою елементів a і b записують .

Властивості полів:

1. В кожному полі Р існує, і при тому тільки одна одиниця.

2. В кожному полі Р для будь-якого елемента а, відмінного від нуля, існує, і при тому тільки один обернений елемент а ^-1.

3. Будь-яке поле Р не має дільників нуля.

4. В кожному полір множина відмінних від нуля елементів Р ^* є абелевою групою відносно множення (мультиплікативна група поля Р).

Означення 2.Характеристикою поля Р називають число нуль, якщо ne = 0 тільки при n = 0; характеристикою поля Р називають натуральне число р, якщо ре = 0; немає такого натурального числа к, менше р, що ке = 0.

Усі числові поля мають характеристику нуль.

Теорема 1. Якщо поле Р має характеристику р, то число р – просте.

Теорема 2. Якщо Р – поле характеристики нуль, то будь-яке ціле кратне будь-якого відмінного від нуля елемента а цього поля не дорівнює нулю: na 0.

Означення 3. Підмножина Р ^’ поля Р називається підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно алгебраїчних операцій, визначених в полі Р. Поле Р в цьому випадку називається розширенням поля Р ^’.

Критерій поля: Для того щоб підмножина Р ^’ поля Р, в якій є хоч би один відмінний від нуля елемент, була підполем, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця, добуток і частка (якщо вона існує) будь-яких двох елементів підмножини Р містилась в підмножині Р ^’.

Означення 4. Підполе, що складається із нуля і одиниці поля Р, називається тривіальним підполем поля Р.

Означення 5. Підполе, відмінне від тривіального, називається власним підполем.

Означення 6. Поле називається простим, якщо в ньому немає власних підполів.

Теорема 3. Перетин будь-якої множини підполів поля Р є підполем в полі Р.

Теорема 4. Будь-яке підполе Р ^’ поля Р, що містить ненульове підкільце R, містить усі дроби , де a R, b R, b 0 (тобто усі елементи х із Р такі, що ).

Теорема 5. Нехай R – ненульове підкільце поля Р. Підмножина S в P, що складається із елементів вигляду , де a R, b R, b 0, є полем.

Теорема 6. Якщо R – підкільце поля Р, то найменше поле в Р, що містить R, складається із дробів , a R, b R, b 0. Дроби і рівні тоді і тільки тоді, коли ad = cb.

Теорема 7. Будь-яка область цілісності R з одиницею є підкільцем деякого поля Р.

Найменше підполе Р, що містить кільце R, співпадає з Р. Тому Р називають полем відношень кільця R.

Теорема 8. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце є поле.

Будь-яке поле містить просте підполе, ізоморфне або полю раціональних чисел Q, або полю лишків Z_p кільця цілих чисел за модулем р, р – просте число.

Число елементів скінченого поля Р дорівнює рⁿ, де р – характеристика поля, а n – розмірність поля Р як векторного простору над його простим підполем.

При заданих числах p і n усі поля з рⁿ елементів ізоморфні.

Контрольні запитання для самоперевірки.

1. Дайте означення поля.

2. Доведіть найпростіші властивості поля.

3. Дайте означення характеристики поля.

4. Доведіть, що характеристикою будь-якого поля є нуль або просте число.

5. Доведіть, що найменше підполе будь-якого поля характеристики нуль ізоморфне полю раціональних чисел.

6. Що таке поле відношень? Які кільця мають поле відношень?

7. Яке поле називають простим?

8. Довести, що в полі немає ідеалів, відмінних від нульового і одиничного.

9. Довести, що при будь-якому ізоморфізмі числових полів, підполе раціональних чисел відображається тотожньо.

10. Довести, що будь-яка скінченна область цілісності є полем.

Література: [2], гл. 4, 4(5,6); [1], гл. 10, 45.

 

Лекція 9.