Многочлени над різними полями

 

1) Коженмногочлен, степінь якого більша за 1 є … у полі :

а) незвідним;

б) звідним;

в) зведеним;

г) примітивним.

2) Скільки коренів має многочлен -го степеня над полем :

а) рівно ;

б) рівно ;

в) рівно ;

г) не менше .

3) Який вигляд має дискримінант кубічного рівняння :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4) При якій умові кубічне рівняння має один дійсний корінь і два комплексних спряжених кореня:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5) При якій умові кубічне рівняння має три дійсних корені (два з яких рівні):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) При якій умові кубічне рівняння має три різних дійсних кореня:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7) Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один … корінь (основна теорема теорії многочленів):

а) цілий;

б) раціональний;

в) дійсний;

г) комплексний.

8) Якщо комплексне число - є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне
число …

а) не є коренем цього многочлена;

б) є коренем цього ж многочлена;

в) є коренем многочлена з протилежними знаками;

г) є коренем многочлена з коефіцієнтами, оберненими до
даних.

9) Якщо комплексне число - є коренем -ї кратності многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число є коренем …

а) -ї кратності;

б) -ї кратності;

в) -ї кратності;

г) нульової кратності.

10) Всі дійсні корені рівняння містяться в інтервалі , де і ...

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11) Щоб відокремити дійсні корені многочлена необхідно знайти інтервали, у яких …

а) не лежить жодного кореня;

б) лежить один корінь;

в) лежать два кореня;

г) лежать всі корені.

12) Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому …

а) не зміниться;

б) зросте на 1;

в) зменшиться на 1.

13) Якщо і () – довільні дійсні числа, які не є коренями , то число дійсних коренів многочлена в інтервалі () дорівнює …, де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно у точках і :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

14) Яким є поле розкладу многочлена :

а) Z;

б) Q;

в) R;

г) C.

15) Яким є поле розкладу многочлена :

а) Z;

б) Q;

в) R;

г) C.

16) Яким є поле розкладу многочлена :

а) Z;

б) Q;

в) R;

г) C.

17) Коренем многочлена
є …

а) ;

б) 3;

в) ;

г) .

18) Чи є звідним над полем С многочлен :

а) так;

б) ні;

в) при певному ;

г) можливо.

19) Яке максимальне число змін знаків може мати многочлен
-го степеня:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

20) Щоб дріб , де () = 1 було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами необхідно, щоб … многочлена , а - …

а) було дільником вільного члена, а було б дільником старшого коефіцієнта;

б) було дільником старшого коефіцієнта, а було б дільником вільного члена;

в) було дільником вільного члена, а не було б дільником старшого коефіцієнта;

г) не було б дільником вільного члена, а було б дільником старшого коефіцієнта.

21) Щоб дріб , де () = 1 був раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , необхідно, щоб при довільному цілому число
ділилося на …

а) , де 0;

б) , де 0;

в) , де 0;

г) , де 0.

22) Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти діляться на деяке просте число , причому …, а старший коефіцієнт …, то многочлен незвідний у полі раціональних чисел:

а) не ділиться на , і не ділиться на ;

б) не ділиться на , і не ділиться на ;

в) не ділиться на , і не ділиться на ;

г) не ділиться на , і не ділиться на .

23) Многочлени і з кільця є взаємно простими. Чи можуть вони мати спільний комплексний корінь :

а) так;

б) ні;

в) при певному ;

г) при певному .

24) Чи може незвідний у кільці многочлен мати кратні комплексні корені :

а) так;

б) ні;

в) при певному ;

г) при певному .

25) Нехай є многочлен . Яка заміна приводить до многочлена виду :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

26) Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма …

а) не зміниться;

б) зменшиться на 1;

в) збільшиться на 1.

27) Задача 1: знайти многочлен найменшого степеня, в якого число є трикратним коренем, -5 – двократним, а 3 є простим коренем:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

28) Задача 2: знайти суму квадратів коренів многочлена :

а) ;

б) ;

в) .

29) Задача 3: розв’язати рівняння :

а) ;

б) ;

в) .

30) Задача 4: відокремити дійсні корені многочлена :

а) один комплексний корінь в інтервалі ;

б) два дійсних кореня в інтервалі ;

в) один дійсний корінь в інтервалі .

31) Задача 5: знайти всі раціональні корені многочлена :

а) ;

б) ;

в) раціональних коренів немає.

 

ТЕСТ 4

 

Алгебраїчні розширення

1) Розширення поля називається ..., якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля .

а) нескінченим;

б) алгебраїчним;

в) скінченим;

г) трансцендентним.

2) Розширення є складним розширенням поля , якщо існує такий ланцюжок розширень ..., що :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3) Які з чисел є алгебраїчними:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4) Говорять, що множина є зчисленою, якщо існує взаємно однозначне відображення множини на множину всіх натуральних чисел . Чи є множина всіх алгебраїчних чисел зчисленою?

а) так;

б) ні;

в) за певних умов.

5) Нехай - алгебраїчне, - трансцендентне і - натуральне. Які з цих чисел алгебраїчні?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) Яким числом є сума довільного раціонального і трансцендентного чисел:

а) раціональним;

б) алгебраїчним;

в) дійсним;

г) трансцендентним.

7) Яку алгебраїчну структуру відносно операції додавання і множення утворюють алгебраїчні числа:

а) групу;

б) кільце;

в) поле;

г) тіло.

8) Нехай поле є алгебраїчним розширенням поля степеня 10. Якого степеня алгебраїчні числа містяться в полі :

а) 1;

б) 2;

в) 5;

г) 10;

д) всі перераховані.

9) Нехай поле є алгебраїчним розширенням поля степеня 10. Чи містяться в полі окремі трансцендентні числа?

а) так;

б) ні;

в) лише одне.

10) Якщо число - алгебраїчне відносно поля , то в кільці існує єдиний зведений многочлен , що і степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем . Як називається такий многочлен?

а) звідний;

б) мінімальний;

в) симетричний;

г) асоційований.

11) Мінімальне розширення поля , яке містить число , називається …, утвореним приєднанням числа :

а) складним розширенням поля ;

б) максимальним розширенням поля ;

в) простим розширенням поля ;

г) алгебраїчним розширенням поля ;

12) Якщо є алгебраїчним відносно поля , то називається …

а) простим алгебраїчним розширенням поля ;

б) складним алгебраїчним розширенням поля ;

в) простим трансцендентним розширенням поля ;

г) складним трансцендентним розширенням поля .

13) Чи вірно, що кожне складне алгебраїчне розширення поля є простим розширенням цього поля:

а) так;

б) ні;

в) за певних умов.

14) Нехай - алгебраїчне число. Яким буде число , обернене до :

а) дійсне;

б) алгебраїчне;

в) трансцендентне;

г) комплексне.

15) Задача 1: довести, що число - алгебраїчне і знайти його мінімальний многочлен:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

16) Задача 1: позбавитись віз ірраціональності в знаменнику дробу , де - корінь рівняння :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

ПІДСУМКОВИЙ ТЕСТ

 

Теорія многочленів

1)Вираз виду: ,
де - _______________________________________________,

– _____________________________________,

- ___________________________________________,

називається ____________________ над ______________.

2) Степінь многочлена позначається ________ і канонічна форма многочлена це _________________________________________
_____________________________________________________.

3) Алгебраїчна рівність многочленів ________________________

_____________________________________________________,

а функціональна - ______________________________________

_____________________________________________________.

4) Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то вони рівні і _________.

Чи справедливе обернене твердження: ___________________.

5) Властивості подільності многочленів:_____________________

______________________________________________________

______________________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

6) Сформулювати теорему :_____________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

7) Якщо , то а) - ____________________________,

б) - ____________________________.

8) - _______________________________________________.

9) _______________________________________________.

10) Якщо , то _________________________________.

11) Заповнити пусті місця: ______+ _____,

де ___________________________________________________.

12) Многочлен з називається незвідним у полі , якщо ____________________________________________
_____________________________________________________.

13) Властивості незвідних многочленів: __________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

14) Якщо і , то _______________
_____________________________________________________.

15) Теорема Кронекера: _______________________________
___________________________________________________________________________________________________________.

16) Поле розкладу многочлена - це ______________________
___________________________________________________________________________________________________________.

17) Для того, щоб був коренем кратності многочлена необхідно і достатньо, щоб _________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

18) Нехай

		-6		-6
		-3		-3

 

Що можна сказати про число ? Чому рівна остача від ділення многочлена на _______________________________________________.

19) Раціональний дріб називається правильним, якщо
_____________________________________________________.

Навести приклади правильного дробу: ____________________.

20) Елементарний дріб – це ____________________________
_____________________________________________________.

21) Якщо , то ______________,
де___________________________________________________.

22) Кожен правильний дріб виду , де - _______
_________________________, - ______________________ можна подати у вигляді _________________________________
_____________________________________________________.

23) Многочлен є многочленом від __________змінних. Його вищий член __________, степінь ___________, лексикографічний запис ___
_____________________________________________________.

24) Многочлен називається однорідним, якщо _____________
_____________________________________________________.

Приклад:_____________________________________________.

25) Многочлен є симетричним, якщо __________
_____________________________________________________.
Приклади симетричних многочленів: _____________________
_____________________________________________________.

Приклади несиметричних многочленів: ___________________
_____________________________________________________.

26) Властивості симетричних многочленів:__________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________.

27) Елементарні симетричні многочлени – це
а) для 2 змінних________________________________________
_____________________________________________________,
б) для 3 змінних________________________________________
_____________________________________________________.

28) Основна теорема симетричних многочленів:___________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

29) Степеневу суму третього порядку від двох змінних представити через основні симетричні многочлени: _________
_____________________________________________________.

30) Теорема Вієта:_____________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

31) , де - ______
______________________________________________________ Заповнити пропущені місця. Про що йде мова:______________
_____________________________________________________.

32) Якщо , то ________________________________
_____________________________________________________.

33) . Заповнити пропущені місця.

34) Якщо , то _________________________________
_____________________________________________________.

35) Многочлен третього степеня над полем має:

а) принаймні один дійсний корінь;

б) два дійсних і один комплексний корені.

Підкреслити правильну відповідь. Чи існують інші варіанти? Якщо так, то вказати їх: _________________________________
_____________________________________________________.

36) Будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має_________________________
_____________________________________________________.

37) Многочлен -го степеня у полі С має _________________
_____________________________________________________.

38) Якщо є коренем , то і _____________________.Сформулювати теорему на основі якої було зроблено висновок_____________________________
_____________________________________________________.

39) Що можна сказати про звідність довільного многочлена над , степінь якого перевищує 2: _______________________
_____________________________________________________.
А якщо степінь дорівнює 2:______________________________
_____________________________________________________.

40) Всі дійсні корені многочлена містяться в інтервалі: ______ ________, де __________________________________________.

41) Правило Декарта: _________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

42) Що означає відокремити дійсні корені многочлена: _____
_____________________________________________________.

43) Як утворюється ряд Штурма: _______________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________.

44) Властивості ряду Штурма: _________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

45) Теорема Штурма: __________________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

46) Щоб число , де - це___________________________,
- це_________________________________________було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно _______
_____________________________________________________.
Чи є ця умова достатньою? _____________________________.

47) Для того, щоб з цілими коефіцієнтами був звідним у полі необхідно і достатньо, щоб _______________________
_____________________________________________________.

48) Критерій Ейзенштейна: ____________________________
______________________________________________________
_____________________________________________________.

49) Число є алгебраїчним, якщо _____________________
____________________________, а трансцендентним - ______
_____________________________________________________.

50) Мінімальний многочлен – це многочлен, що задовольняє умови:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

 

ВІДПОВІДІ

Розділ I

§ 1

1.

2.

.

3. ;

.

4.

5.

7.

8. - 1.

9.

10.

11.

12.

13. .

§ 2

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

7.

9.

10.

11.

§ 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

§ 4

2. ;

3.

4. ;

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Розділ II

§ 5

1.

2.

3.

4.

5.

6.

8.

§ 6

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

9.

12.

§ 7

1. -7.

2.

3.

5.

6.

Розділ III

§ 8

1.

2.

3. 23.

4.

5.

6.

7.

8. Так.

9.

§ 9

1.

.

2.

3.

4.

5.

§ 10

1.

2.