Розділ IV. Многочлени над полем раціональних чисел та алгебраїчні числа

 

Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна

Питання для самоконтролю:

1) Число якого виду може бути раціональним коренем многочлена?

2) При якій умові число , де , може бути коренем рівняння з цілими коефіцієнтами?

3) Коли всі раціональні корені є цілими числами і являються дільниками вільного члена?

4) Якщо числа є цілими, то є …

5) Умова звідності многочлена з цілими коефіцієнтами у полі раціональних чисел.

6) Якщо многочлен з раціональними коефіцієнтами, має хоч один раціональний корінь , то …

7) Сформулюйте критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами.

Задачі

 

1) Розв’язати рівняння:

2) Знайти раціональні корені рівняння:

3) Розкласти на незвідні множники дані многочлени або довести їх незвідність:

4) Дослідити на звідність у полі Q такий многочлен:

5) Що можна сказати про звідність даного многочлена у
кільці :

6) Користуючись критерієм Ейзенштейна, довести незвідність над полем Q многочленів:

Алгебраїчні і трансцендентні числа. Будова простого алгебраїчного розширення поля

Питання для самоконтролю:

1) Яке число називається алгебраїчним відносно поля ?
А яке трансцендентним?

2) Чи існує незвідний зведений многочлен , коренем якого є алгебраїчне число відносно поля ? Який його степінь? Як він називається? Скільки таких многочленів існує?

3) Яке поле називається простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля ?

4) З яких чисел складається поле , утворене з поля приєднанням кореня α, незвідного у полі многочлена -го степеня ?

5) З яких чисел складається просте алгебраїчне розширення Р(α) поля , якщо α – корінь многочлена і ?

6) Яке розширення поля називається квадратичним?

7) Розширення поля називається скінченим, якщо …

8) Яка степінь будь-якого квадратичного розширення?

9) Яке розширення є складним розширенням поля ?

10) Якщо всі елементи поля є алгебраїчними відносно поля , то розширення називається …

 

Задачі

 

1) Довести, що число a є алгебраїчним і знайти його мінімальний многочлен:

2) Довести, що числа і алгебраїчні. Знайти степінь числа .

3) Довести безпосередньо, що число є алгебраїчним, і знайти многочлен над Q (не обов’язково мінімальний), коренем
якого є :

4) Для даного числа , алгебраїчного над Q, знайти алгебраїчно спряжене до нього (над Q) число:

5) Чи міститься в полі число ? В полі
число ?

6) Знайти алгебраїчне число, приєднанням якого до Q поля можна дістати складне алгебраїчне розширення:

де - прості числа,

,

.

7) Нехай і - натуральні числа, причому і - не цілі. Довести, що .

8) Знайти вираження для кожного з чисел і через
+ :

 

Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу

 

Питання для самоконтролю:

 

1) На яких фактах ґрунтуються основні методи розв’язування задач на позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу?

2) Що треба зробити, щоб позбавиться від ірраціональності в знаменнику дробу ?

Задачі

 

1) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

де ,
де

2) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

3) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

4) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

5) В полі , де , знайти представлення для числа у вигляді .

6) Звільнитись від в знаменнику дробу , якщо - корінь рівняння .

7) Спростити вираз:

ТЕМАТИЧНІ ТЕСТИ

ТЕСТ 1

 

Подільність. Взаємнопрості многочлени.
НСД та НСК многочленів. Раціональні дроби

 

1) Чи є многочленом від змінної чи вираз:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2) Який степінь має многочлен :

а) 3;

б) 4;

в) 8;

г) 7.

3) Канонічною формою многочлена називається такий запис:

а) коли його члени впорядковані в довільному порядку;

б) коли його члени впорядковані за спаданням степеня ;

в) коли його члени впорядковані за зростанням степеня ;

г) коли його члени впорядковані за спаданням значення
коефіцієнта.

4) Які з многочленів записані в канонічній формі:

а) над полем ;

б) над полем ;

в) над кільцем ;

г) над полем .

5) Допишіть нерівність: …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) При яких та многочлен з кільця рівні між собою: та

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7) У кільці многочлени і …, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою.

а) незвідні;

б) асоційовані;

в) подібні;

г) звідні.

8) Знайти суму коефіцієнтів многочлена з кільця :

а) -5;

б) 24;

в) 0;

г) -25.

9) Як називається многочлен у виразі :

а) ділене;

б) частка;

в) остача;

г) дільник.

10) Як називається вираз виду :

а) лінійний запис НСД;

б) лінійний запис НСК;

в) лінійне представлення НСД;

г) лінійне представлення НСК.

11) … називається будь-який многочлен такий, що
:

а) СД;

б) НСК;

в) НСД;

г) СК.

12) Якщо , то називається …

а) СД;

б) НСК;

в) НСД;

г) СК.

13) Многочлен називається … у полі , якщо і в кільці існують многочлени і такі, що = , і .

а) незвідним;

б) асоційованим;

в) симетричним;

г) звідним.

14) Чи вірне твердження: многочлен першого степеня над будь-яким полем є звідним у кільці ?

а) так;

б) ні;

в) в окремих випадках;

г) можливо.

15) Поле , де многочлен розкладається на лінійні множники називається:

а) канонічним полем;

б) полем розкладу;

в) кратним полем;

г) звідним полем.

16) Якщо , то многочлени і називаються:

а) асоційованими;

б) звідними;

в) незвідними;

г) взаємно простими.

17) Число всіх можливих коренів многочлена степеня над
полем …

а) дорівнює ;

б) не перевищує ;

в) більше ;

г) менше .

18) Скільки многочленів можуть бути найменшим спільним дільником многочленів і у кільці :

а) 2;

б) 1;

в) 4;

г) безліч.

19) Скільки многочленів можуть бути найменшим спільним кратним многочленів і у кільці :

а) 2;

б) 1;

в) 4;

г) безліч.

20) Раціональний дріб називається неправильним, якщо …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

21) – це …

а) СД;

б) СК;

в) НСК;

г) НСД.

22) Як називається вираз :

а) канонічний розклад многочлена ;

б) розклад многочлена на множники;

в) лінійне представлення многочлена ;

г) розклад многочлена на незвідні множники.

23) Елементарним дробом у полі називається раціональний дріб виду:

а) , де - звідний у полі , ;

б) , де - незвідний у полі , , ;

в) , де - незвідний у полі , , ;

г) , де - звідний у полі , ,
;

24) Який з раціональних дробів є елементарним над полем :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

25) Неправильний дріб над полем можна подати як …

а) суму многочлена і неправильного дробу;

б) різницю многочлена і правильного дробу;

в) суму многочлена і правильного дробу;

г) суму многочленів.

26) Нехай маємо деякий многочлен . Тоді запис означає:

а) - корінь многочлена ;

б) значення многочлена при .

27) Нехай є довільний многочлен . Що розуміється під записом :

а) - корінь многочлена ;

б) значення многочлена при .

28) Чи вірно, що коли многочлени рівні між собою функціонально, то вони рівні і алгебраїчно?

а) так;

б) ні;

в) практично завжди;

г) майже ніколи.

29) Чи справедливе таке твердження: ?

а) так;

б) ні;

в) залежно від початкових умов;

г) не знаю.

30) Чи рівносильні алгебраїчне та функціональне тлумачення поняття кореня многочлена над довільною областю цілісності:

а) так;

б) ні;

в) за певних умов;

г) можливо.

31) У кільці виконуються рівності . Чи не суперечать вони теоремі про єдиність розкладу многочлена на незвідні множники у кільці ?

а) так;

б) ні;

в) можливо.

32) Вкажіть, які з властивостей подільності многочленів над полем записані без помилок:

а) ;

б) ( ± ) ;

в) Þ P [x] = c ;

г) Þ P [x] = c .

33) Чи вірно записана властивість подільності многочленів над
полем :

а) так;

б) ні;

в) можливо;

г) при певному .

34) Довільний многочлен Р[x] ділиться з остачею на будь-який многочлен Р[x], ¹ 0; при цьому частка і остача належать Р[x] і визначаються однозначно, тобто , причому …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

35) Яке з тверджень неправильне:

а) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД –
дільники одиниці кільця Р[x];

б) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД –
дільники нуля кільця Р[x];

в) будь-які многочлени і не мають тривіальних НСД.

36) Чи вірно: якщо – НСД многочленів і , то " с 0 – НСК многочленів і ?

а) так;

б) ні;

в) при певному ;

г) при певному .

37) Допишіть властивість взаємно простих многочленів (, ) = 1 …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

38) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для будь-якого многочлена з кільця …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

39) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для многочлен є …

а) звідним;

б) взаємно простим;

в) асоційованим;

г) незвідним.

40) Допишіть властивість: (, ) = 1 (, ) = 1 …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

41) Задача 1: остачі від ділення многочлена з кільця на відповідно дорівнюють та . Знайти остачу від ділення цього многочлена на :

а) ;

б) ;

в) ;

42) Задача 2: відокремити кратні множники многочлена :

а) ;

б) ;

в) .

43) Задача 3: дослідити на звідність многочлен в
кільці :

а) звідний;

б) незвідний;

в) не можливо визначити.

44) Задача 4: розкласти дріб на елементарні дроби над полем :

а) ;

б) ;

в) .

 

ТЕСТ 2

 

Симетричні многочлени

 

1) Два члени многочлена, що відрізняються лише коефіцієнтами називаються:

а) взаємно простими;

б) асоційованими;

в) подібними;

г) незвідними.

2) Степенем члена називається:

а) добуток ;

б) різниця ;

в) сума ;

г) добуток .

3) Який степінь многочлена :

а) 3;

б) 4;

в) 5;

г) 6.

4) Який „вищий” член многочлена :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5) Який старший член многочлена :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) Якщо всі члени многочлена мають однаковий степінь, то многочлен називається:

а) примітивним;

б) подібним;

в) однорідним;

г) зведеним.

7) Який з многочленів записаний лексикографічно:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

8) Якщо многочлени та незвідні у полі і , то вони:

а) примітивні;

б) звідні;

в) асоційовані;

г) прості.

9) Многочлен називається …, якщо НСД його коефіцієнтів рівний 1.

а) асоційованим;

б) звідним;

в) симетричним;

г) примітивним.

10) Який з цих многочленів симетричний:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11) Як виражається через елементарні симетричні многочлени сума :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12) Нехай і
, де і
- корені , тоді результант і
має вигляд:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

13) Яке з тверджень вірне:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

14) Для того, щоб многочлени і мали спільний корінь необхідно і достатньо, щоб …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

15) Дискримінант многочлена це вираз виду:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

16) Для того, щоб многочлен мав кратний корінь необхідно, щоб:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

17) Скільки членів може мати канонічна форма однорідного многочлена другого степеня від двох змінних:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) від 1 до 3.

18) Скільки членів може мати канонічна форма однорідного многочлена третього степеня від трьох змінних:

а) 3;

б) від 1 до 9;

в) від 1 до 10;

г) від 1 до 6.

19) Серед наступних одночленів вказати ті, які не можуть бути вищим членом многочлена:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

20) Многочлен називається …, якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен, рівний даному:

а) зведеним відносно змінних ;

б) симетричним відносно змінних ;

в) звідним відносно змінних ;

г) однорідним відносно змінних .

21) Якщо є вищим членом симетричного многочлена, то:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

22) Що утворює множина всіх симетричних многочленів від змінних над полем відносно дій додавання і множення:

а) кільце з 1;

б) поле з 1;

в) групу з 1;

г) область цілісності з 1.

23) Як позначається такий елементарний симетричний многочлен :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

24) Чи вірно, що :

а) так;

б) ні;

в) якщо дописати ;

г) якщо із запису вилучити .

25) Чи можна всякий симетричний многочлен від змінних подати у вигляді многочленів від основних симетричних функцій :

а) так;

б) ні;

в) залежить від вибору ;

г) залежить від початкового многочлена.

26) Задача 1: знайти всі дійсні розв’язки системи рівнянь

а) ;

б) ;

в) .

27) Задача 2: обчислити при яких раціональних значеннях мають спільний корінь многочлени і :

а) якщо , то ;

б) якщо , то ;

в) якщо , то .

28) Задача 3: знайти цілі значення , при яких має кратні корені многочлен :

а) ;

б) ;

в) .

 

ТЕСТ 3