Деление многочленов над целостным кольцом.

Пусть − целостное кольцо.

Теорема. (Об однозначности деления с остатком.) Пусть − многочлен с обратимым старшим коэффициентом. Тогда любому многочлену сопоставляется одна и только одна пара многочленов , , для которых

, .

Доказательство. Пусть

,

,

где и существует обратный элемент для . Применим индукцию по . Если и , то положим , ; если , то положим , . Допустим, что утверждение теоремы доказано для всех многочленов степени . Можно считать, что , поскольку в противном случае , . Коль скоро это так, то

,

где . По предположению индукции существуют и такие, что , . Положив и , получим искомую пару многочленов.

Для доказательства единственности и предположим, что

.

Тогда . Так как целостное кольцо, то

. Но это возможно только при и . ∎

 

Многочлены и называют соответственно частным и остатком от деления на . Если , то говорят, что делится на , или кратно , и пишут . Если , то пишут . Операции вычисления частного и остатка обозначим как div и mod, так что и . Сам процесс вычисления частного и остатка и называют евклидовым делением. Если − поле, то деление на всегда возможно, поскольку в поле все ненулевые элементы обратимы.

Следствие. В кольце многочленов над полем все идеалы − главные.

Доказательство. Пусть − любой ненулевой идеал в . Выберем в ненулевой многочлен минимальной степени, и пусть − любой другой многочлен из . Разделим на , т.е. представим его в виде , . Так как и

, то ввиду выбора заключаем, что − нулевой многочлен. Отсюда следует, что множество состоит в точности из многочленов, кратных . Значит, − главный идеал. ∎

Замечание. Для колец многочленов от нескольких переменных данное утверждение неверно. Идеалы в , , не исчерпываются главными. Пример см. Кострикин, с. 217. ∎

НОД и НОК в кольце , где − поле.

Определение. Пусть , − многочлены, не являющиеся одновременно нулевыми. Многочлен наибольшей степени такой, что и , называется наибольшим общим делителем многочленов и , и обозначается через нод , .

Отметим следующие свойства, используя которые нетрудно получить алгоритм вычисления нод , :

1) нод , нод , ;

2) нод , ;

3) если , то нод , нод , , где .

Алгоритм Евклида:

пока и делать

если то иначе ;

.

 

По аналогии с нод , вводится дуальное понятие − наименьшее общее кратное нок , , где , − многочлен наименьшей степени такой, что и .

Замечание. Если нод , целых чисел , определён однозначно, то

нод , для многочленов и определён с точностью до умножения на ненулевой элемент поля ℱ. Иными словами, наряду с многочлен также является наибольшим общим делителем многочленов и . Чтобы устранить неоднозначность, выберем среди многочленов унитарный, т.е. тот, у которого старший коэффициент равен единице. Такое же уточнение сделаем и относительно наименьшего общего кратного.

Если нод , , то многочлены и будем называть взаимно простыми.

Рассмотрим множество многочленов , . Нетрудно проверить, что − идеал в . Согласно теореме, − главный идеал, т.е. для некоторого многочлена . Используя алгоритм деления, запишем многочлен в виде , где . Ввиду , имеет место включение

.

Отсюда следует, что , и, следовательно, . Аналогично доказывается, что . Пусть теперь любой делитель многочленов и . Тогда

, .

Очевидно, что обладает всеми свойствами наибольшего общего делителя многочленов и . Значит, нод , . Таким образом, доказана следующая

Теорема.

нод (,

для некоторых многочленов , .

Определение. Многочлен степени называется неприводимым в (или неприводимым над полем ), если он не делится ни на какой многочлен степени .

Теорема. Множество унитарных неприводимых многочленов над любым полем бесконечно.

Это утверждение доказывается так же, как и соответствующее утверждение о бесконечности множества простых чисел в кольце . ∎

Так как множество многочленов заданной степени над конечным полем − конечное число, то справедливо следующая

Теорема. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени.

Замечание. На самом деле над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени. Это же справедливо и для поля рациональных чисел. С другой стороны, над полем ℂ комплексных чисел существуют неприводимые многочлены только первой и второй степени.

Неприводимые многочлены играют важную роль в кольце , такую же, как и простые числа в кольце .

Лемма. Пусть , , − многочлены над полем . Тогда, если − неприводимый над полем многочлен и , то либо , либо (либо и то, и другое).

Теорема. (Основная теорема арифметики кольца об однозначности разложения на множители.) Каждый многочлен положительной степени ( − поле) модет быть представлен в виде произведения

,

где , ,…, − различные унитарные неприводимые многочлены из , а ,…, − натуральные числа. Это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей. Оно называется каноническим разложен ием многочлена в кольце .

Доказательство этих утверждений аналогично доказательствам соответствующих утверждений о разложении чисел на простые множители в кольце . ∎

Если

, ,

где , , ; ,…, − различные неприводимые над многочлены; ,…, , ,…, − неотрицательные целые числа, то

нод , , нок , ,

где min , }, , , , , …, . Отсюда следует, что

нод , нок , .

Теорема. Пусть . Факторкольцо является полем тогда и только тогда, когда − неприводимый многочлен над полем .

Доказательство. Элементами кольца являются классы вычетов , где . Классы вычетов и совпадают тогда и только тогда, когда , т.е. и при дении на дают один и тот же остаток. Поэтому различные элементы в можно описать явно, а именно это те классы , где пробегает множество многочленов из степени < . Отметим, что роль нуля и единицы в играют классы вычетов и , где и − нуль и единица поля .

Предположим, что не является неприводимым многочленом. Тогда для некоторых многочленов , степени , . Так как и и

, то не может быть полем, поскольку содержит делители нуля.

Теперь предположим, что − неприводимый над многочлен степени . Пусть − любой ненулевой многочлен степени (так что − произвольный элемент кольца ). Многочлены и , очевидно, взаимно просты. Согласно теореме нод (, ) =1= для некоторых , . Но тогда

,

т.е. элемент имеет обратный, а именно . Значит, − поле. ∎

Корни многочленов

Пусть − подкольцо с единицей целостного кольца .

Определение. Элемент называется корнем (или нулём) многочлена , если . (Говорят также, что − корень уравнения .)

Замечание. Переход от кольца к кольцу (для которого является собственным подкольцом) обычно обусловлен следующим обстоятельством. Многочлен может не иметь корней в . С другой стороны, ввиду , многочлен можно рассматривать как элемент кольца . При этом может иметь корни в . Например, многочлен не имеет корней в , но имеет два корня в (именно: и – , где ). Как бы там ни было, мы рассмотрим сначала случай .

 

Теорема Безу. Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на .

Доказательство. Многочлен может быть записан в виде

= + , deg < deg = 1.

Так как , то тогда и только тогда, когда − нулевой многочлен. ∎

Определение. Элемент называется корнем кратности (или - кратным корнем) многочлена , если делится на , но не делится на . При корень называется простым, а при − кратным.

Очевидно, что является -кратнымкорнем многочлена тогда и только тогда, когда , где и . Так как − целостное кольцо, то deg .

Теорема. Если ,…, − различные корни ненулевого многочлена кратностей ,…, соответственно, то

(1)

для некоторого многочлена такого, что , ,…, . При этом

(2) .

Доказательство. Применим индукцию по . При доказывать нечего. Пусть доказано, что

для некоторых и многочлена такого, что , ,…, .Подстановка даёт

.

Так как − целостное кольцо и , ,…, , то . Пусть , г (и, очевидно, , ,…, ). Тогда

,

где . Допустим, что . Тогда, используя закон сокращения в целостном кольце, получаем , что, однако, невозможно ввиду

и .

Следовательно, . Аналогично доказываем, что . Поэтому и

,

где , ,…, . Это и требовалось показать. Наконец, неравенство (2) непосредственно вытекает из (1). ∎

Замечание. Без предположения о целостности кольца теорема неверна. Например, если ( − кольцо целых чисел по модулю 8), то = ; разложение также неоднозначно:

.

 

Из теоремы вытекает

Следствие. Ненулевой многочлен степени имеет, самое большее, корней. Два многочлена , степени , принимающие одинаковые значения при подстановке + 1 различных элементов из , равны: = .

Доказательство. Если допустить, что многочлен имеет не менее корней, то возникает противоречие с неравенством в (2). Если , то многочлен имеет степень , но не менее корней, что невозможно. ∎