Замечание о главных идеалах.

Утверждение. В коммутативном кольце с единицей множество всех кратных любого фиксированного элемента является идеалом в .

Доказательство. Если и , то = () , кроме того, для любого элемента имеем и . ∎

Следствие. Коммутативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно не имеет собственных идеалов.

Доказательство. Любое поле содержит два идеала: нулевое (0) и единичное (1).Других (т.е. собственных) идеалов в поле нет. Если не является полем, то в имеется необратимый элемент , среди кратных которого нет единицы. Поэтому является собственным идеалом в . ∎

Замечание. Следующий контрпример показывает, что как конечное, так и бесконечное некоммутативное кольцо, содержащее необратимый элемент, может не иметь собственных идеалов. Рассмотрим кольцо матриц второго порядка над произвольным полем ℱ. Пусть в этом кольце означает матрицу, у которой =1, а на остальных местах нули. Другими словами,

, , , .

Пусть − ненулевой идеал в и − матрица из этого идеала с ненулевым элементом . Тогда идеал должен содержать все матрицы вида = . Выберем любую матрицу . Так как ≠ 0, то мы можем положить , а затем, обозначив через матрицу с элементами на главной диагонали и нулями вне её, мы можем представить в виде

Таким образом, . Отсюда следует, матричное кольцо не имеет собственных идеалов, причем конечно или бесконечно в зависимости от того, конечно или бесконечно .∎

 

 

Морфизмы колец.

Определение. Пусть , кольца. Отображение называется кольцевым гомоморфизмом, если оно сохраняет обе операции, т.е.

;

для любых , . (Знаки и в левой и правой частях этих равенств имеют разный смысл: слева это операции в кольце , справа в кольце .)

Далее вместо ″кольцевой гомоморфизм″ будем говорить также ″гомоморфизм колец″ или просто ″гомоморфизм″, если ясно, что речь идёт о кольцах.

Ядром кольцевого гомоморфизма называется множество

},

где − нуль в кольце .

Теорема. Ядро кольцевого гомоморфизма всегда является идеалом в .

Доказательство. Пусть , . Тогда

, , .

Очевидно, что − подкольцо в , но тогда и идеал в . ∎

Теорема. Пусть − гомоморфизм колец. Тогда образ отображения − подкольцо в .

Доказательство. Поскольку − гомоморфизм аддитивных абелевых групп, то, согласно теореме, − аддитивная абелева группа (подгруппа группы , ). Пусть

, , а , таковы, что , Тогда

,

т.е. замкнуто относительно умножения в . Поскольку остальные аксиомы кольца − ассоциативность умножения и дистрибутивные законы − для заведомо выполняются, то − подкольцо в . ∎

В дополнение к теореме отметим, что для любых , . Если − кольцо с единицей, то служит единицей кольца , но может не быть единицей кольца . Элемент обязан быть единицей кольца , если .

Гомоморфизм называется:

мономорфизмом, или инъективным гомоморфизмом, если (в этом случае − инъекция, т.е. , если ;

эпиморфизмом, или сюръективным гомоморфизмом, если образ отображения совпадает с , т.е. (в этом случае − сюръекция, т.е. для любого существует такой, что );

изоморфизмом, или биективным гомоморфизмом, если мономорфно и эпиморфно (в этом случае − биекция, т.е. взаимно однозначное отображение). Факт изоморфизма записывается как .

Утверждение. Если − изоморфизм колец, то обратное (в теоретико-множест- венном смысле) отображение также является изоморфизмом колец.

Доказательство этого утверждения нетрудно осуществить по аналогии с доказательством соответствующего утверждения об изоморфизмах групп. ∎

Ясно, что инъективный кольцевой гомоморфизм устанавливает изоморфизм между кольцом и его образом .