Некоторые результаты о многочленах над конечными полями.

Теорема. Если − корень многочлена , то также является корнем многочлена .

Доказательство. Пусть . Тогда

. ∎

Теорема. Каждый многочлен степени , неприводимый над , является делителем многочлена .

Доказательство. Если , то теорема верна. Пусть и – корень многочлена в расширении . Это расширение является полем и совокупность его ненулевых элементов образует группу порядка . Поэтому порядок элемента должен быть делителем , а сам элемент − корнем многочлена . Тогда по теореме многочлен является делителем многочлена . ∎

Теорема. Каждый делитель многочлена , неприводимый над , имеет степень, равную или меньшую .

Доказательство. Пусть deg . Рассмотрим расширение поля . Это поле элементов, каждый из которых может быть представлен в виде линейной комбинации , где − корень , а , ,…, ∈ . Тогда

Но − корень многочлена , и поэтому . Отсюда следует, что

,

т.е. корень многочлена . Так как число элементов равно , а число корней многочлена равно , то и, следовательно, . ∎

Теорема. Пусть − элемент некоторого расширения поля , и пусть − минимальный многочлен над элемента . Тогда, если , то порядок элемента является делителем числа , но не является делителем никакого меньшего числа вида .

Доказательство. По теореме является делителем многочлена , а − корнем этого многочлена. Поэтому порядок является делителем числа . Предположим, что делится на порядок при . Тогда является корнем многочлена , а − делителем этого многочлена по теореме. Но тогда по теореме степень многчлена не превосходит . ∎

Теорема. Пусть − многочлен степени , неприводимый над , и пусть − корень этого многочлена в некотором расширении поля . Тогда , ,…, образуют совокупность всех корней многочлена .

Доказательство. По теореме элементы , ,…, являются корнями многочлена . Покажем, что все эти элементы различны. Допустим, что это не так и при

. Тогда

,

.

Получается, что порядок является делителем числа С другой стороны, отличается от минимального многочлена для разве что на постоянный множитель . Поэтому по теореме порядок является делителем числа , но не является делителем никакого меньшего числа Полученное противоречие означает, что все элементы , ,…, на самом деле различны. Других корней у многочлена нет, поскольку число корней не может быть больше, чем степень многочлена. ∎

Теорема. Все корни неприводимого многочлена имеют один и тот же порядок.

Доказательство. Пусть − один из корней многочлена. По теореме любой из остальных корней может быть представлен в виде при некотором . Пусть и − порядки этих корней. Тогда из соотношений

,

следует, что и . Но тогда . ∎

Определение. Порядок корней неприводимого многочлена называется показателем, которому данный многочлен принадлежит.

Если неприводимый многочлен принадлежит показателю , то он является делителем многочлена , но не является делителем многочлена при . Неприводимый многочлен степени над полем называется примитивным, если его корнем является примитивный элемент поля . Тогда этот корень и, следовательно, все корни имеют порядок , и все они − примитивные элементы. Неприводимый многочлен степени является примитивным тогда и только тогда, когда он принадлежит показателю . Наконец, неприводимый многочлен степени является примитивным тогда и только тогда, когда он не является делителем многочлена ни при каких при .