Классы вычетов и факторкольца.

Пусть − идеал кольца . Поскольку каждый идеал кольца является нормальной подгруппой аддитивной группы кольца, то идеал задаёт некоторое разбиение множества на смежные классы по аддитивной подгруппе . В данном случае эти классы называются классами вычетов кольца по модулю идеала . Соответствующее множество классов (фактор-множество) обозначим через . Класс вычетов, содержащий элемент , будем обозначать через = ; он состоит из элементов вида , ∈ . Так как один и тот же класс может быть представлен разными элементами, то будет уместно напомнить, что ⟺ .

Лемма. Пусть и . Тогда и .

Доказательство. Из и следует, что и для некоторых , . Тогда

()−( = ;

∎

На элементах (классах) множества определим операции ⊕ (сложение) и ⊙ (умножение), полагая:

, .

Из доказанной выше леммы следует, что эти операции определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей классов вычетов.

Теорема. Структура (, ⊕, ⊙) является кольцом, которое называют факторкольцом кольца по идеалу .

Доказательство. Проверим выполнимость аксиом кольца. Тот факт, что (, ⊕) –группа по существу уже доказан ранее в теореме. Сложение коммутативно:

.

Значит, группа , абелева. Операция умножения ассоциативна:

.

Дистрибутивные законы также выполняются:

(,

. ∎

Элементы , , принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю идеала , будем называть сравнимыми по модулю и записывать это как . Отметим следующие свойства определённого сравнения: если , то

, , и

для любых и ; если, кроме того, , то и .

Пример. (Продолжение примера.) Пусть , +, − кольцо целых чисел,

, , , где , − идеал (главный) в кольце , состоящий из чисел, кратных . Элементами кольца , , являются те же смежные классы, что и в примере с операциями: , , где и − остатки от деления соответственно и на . Это кольцо называют кольцом целых чисел по модулю и обозначают обычно через .

О кольце .

Теорема. Кольцо является полем тогда и только тогда, когда − простое число.

Доказательство. Пусть − составное число, т.е. для некоторых целых , . Тогда , откуда следует, что − кольцо с делителями нуля. Значит, − не поле.

Теперь предположим, что − простое число. Пусть – любой ненулевой элемент. Так как при , то элементы , , …, различны и совпадают с элементами , , …, (но, возможно, в другом порядке), то

].

На языке сравнений это означает, что . Так как числа , , …, ) взаимно просты с , то обе части полученного сравнения можно сократить на эти числа. В результате получаем

,

т.е. элемент имеет обратный. Значит, − поле. ∎

Из этой теоремы следует, что существуют поля, содержащие конечное число элементов. Они находят многочисленные применения в различных областях математики. Конечное поле, содержащее элементов, будем обозначать через (используют также обозначение – от − поле Галуа − по имени фр. математика Э. Галуа, заложившего фундаментальные основы теории групп). В частности, , если − простое число. Заметим, что и , как кольца с делителями нуля, не являются полями. Вместе с тем поле существует, а поле не существует. Далее будет установлено, при каких существует поле , и уточнено строение этих полей.

Теорема (основная теорема о гомоморфизмах колец). Пусть , − . Тогда:

1) Если − сюръективный гомоморфизм, то − идеал в , а .

2) Обратно, если − идеал в , то отображение , определяемое по правилу , является сюръективным гомоморфизмом с ядром .

Гомоморфизм называют естественным, или каноническим.

Доказательство. 1) Тот факт, что − идеал в , доказан в лемме. Покажем, что изоморфизм между и устанавливается с помощью отображения , сопоставляющего классу вычетов элемент . Отображение определено корректно: если тот же класс вычетов. что и , то для некоторого и

,

так что значение определено однозначно. Далее, если , то , поскольку в противном случае приходим к противоречию:

.

Следовательно, − инъекция. Поскольку сюръекция, т.е. , то для любого найдётся такой, что . Отсюда следует, что и − сюръекция, но тогда − биекция. Кроме того, для любых , имеем

и, аналогично,

.

Следовательно, −изоморфизм.

2) Для любых , имеем

и, аналогично,

.

Следовательно, − гомоморфизм, очевидно, сюръективный. Так как

и ,

то . ∎

 

Характеристика кольца (поля) .

Определение. Характеристикой кольца называется наименьшее , при котором для любого . Если такое существует, то кольцо называется кольцом положительной характеристики . Если же такое не существует, то говорят, что характеристика кольца равна нулю, а само называют кольцом нулевой характеристики.

Характеристика кольца обозначается как Char .

Примеры. 1) ℤ − кольцо, ℚ, ℝ, ℂ − поля нулевой характеристики. 2) , где , − конечное кольцо положительной характеристики .

Если − кольцо с единицей, то значение характеристики кольца полностью определяется аддитивными свойствами единицы: если при любом , то Char ; если же существуют , при которых , то Char , где − наименьшее из таких , поскольку ⟹ = 0.

Теорема. Характеристика любого ненулевого кольца с единицей и без делителей нуля равна либо нулю, либо некоторому простому числу .

Доказательство. Случай Char возможен. Пусть Char . Так как содержит не менее двух элементов, то . Допустим на минутку, что − составное число, т.е. ,где , − некоторые целые. Тогда из следует, что или , или (либо и то, и другое). Пусть, для определённости, , но тогда Char , что противоречит выбору числа . Значит, − простое число. ∎

Теорема. (Равенство Шёнемана.) В коммутативном кольце простой характеристики имеет место тождество

для всех , и .

Доказательство. Согласно лемме, для любых и . Тогда

Теперь, используя индукцию по ,устанавливаем первое тождество: , а из него вытекает второе: . ∎

Следствие. При тех же предположениях

для всех ,…, и , ,

Определение. Подполем поля называется подкольцо в , само являющееся полем.

Например, − поле рациональных чисел − является подполем поля вещественных чисел, которое, в свою очередь, является подполем поля комплексных чисел.

Если , то говорят, что поле является расширением своего подполя (или надполем по отношению к ). Из определения подполя следует, что нуль и единица поля лежат в и также являются для нулём и единицей.

Утверждение. Пересечение подполей и поля является подполем в .

Доказательство. Проверить выполнимость аксиом поля для ∩ . ∎

Определение. Поле называется простым, если оно не содержит никаких подполей, отличных от него самого.

Примеры. 1) Поле − простое поле для любого простого числа . Это следукт из того, что аддитивная группа , имеет простой порядок и по теореме Лагранжа не имеет собственных подгрупп. 2) − простое поле. В данном случае, наряду с числом 1, простое полполе поля должно содержать все кратные ему, а также все дроби. Но это и будет множество .

Отметим, что других простых полей, по существу отличающихся от указанных в примере, нет, о чём свидетельствует следующая

Теорема. Каждое поле содержит только одно простое поле , причём , если Char , и , если Char .

Доказательство. Допуская существование двух простых подполей и поля , мы неизбежно придём к противоречию, поскольку их пересечение содержится как в , так и в , отлично от них и является подполем поля . Значит, простое поле единственно.

Уточним структуру поля . Это поле, как всякое подполе поля , содержит единицу поля . Элементы вида , , с операциями

, , , ,

образуют коммутативное кольцо , являющееся подкольцом поля . Рассмотрим отображение

,

определяемое правилом . Это отображение является сюръективным гомоморфизмом кольца на кольцо с ядром Ker . По теореме о гомоморфизмах колец . Возможны два случая:

. В этом случае ядро тривиально, т.е. Ker Следовательно, − изоморфизм ) и дроби , имеющие смысл в (поскольку поле), образуют поле, изоморфное ℚ. Оно и будет простым подполем в .

2. . Поскольку Char − простое число, то − поле. Так что ≅ − поле. Поскольку , то на самом деле . ∎

Многочлены.

Пусть − коммутативное кольцо с единицей .

Определение. Многочленом (или полиномом) над кольцом называется формальное выражение вида

где , …, − элементы кольца , называемые коэффициентами многочлена, , , − некоторый (формальный) символ, не принадлежащий кольцу , называемый переменной (или неизвестной).

Замечание. Данное определение на самом деле не является достаточно строгим. В нём есть одно сомнительное место, касающееся связи коэффициентов и посторонней переменной . Этого вопроса обычно избегают. Однако можно дать совершенно безукоризненное определение многочлена как элемента кольца многочленов. Изложим его вкратце. (См.)

Рассмотрим множество всех бесконечных последовательностей

, , , , ,

у которых все , кроме конечного числа, равны нулю. Для , , , и

, , , определим сумму и произведение , полагая

, , , ,

, , , ,

где

Относительно этих операций является коммутативным кольцом с единицей

, , , . Действительно, сложение и умножение двух последовательностей с конечным числом ненулевых членов даёт снова аналогичную последовательность. Сложение последовательностей ассоциативно и коммутативно. Нулём в является нулевая последовательность , , , , противоположным для , , , является элемент =

(, , , . Умножение в ассоциативно: пусть

, , , , , , , , , , , …)

− три произвольных элемента из ; тогда

= (, , , …), = (, , , …),

где

Вычисление даёт тот же результат. Поскольку умножение в исходном кольце коммутативно, то оно коммутативно и в . Наконец, в выполняется дистрибутивный закон: . Значит, коммутативное кольцо с единицей.

Множество последовательностей (, , , , у которых лишь первая компонента может быть ненулевой, образует в подкольцо, изоморфное (изоморфизм задаётся соответствием , , , . Отождествляя и , можно считать, что − подкольцо в , а – расширение кольца . Обозначим через последовательность (, , , , и назовём переменной (или неизвестной) над . Легко проверить, что

,…, , , , для всех ,

где является -ой компонентой. Если, кроме того, положить , , , , то для любой последовательности , , , имеем: , , ,

, , , , , , , , , 0,

, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

Таким образом, если − последний ненулевой элемент в , , , , , , то в новых обозначениях

Такое представление единственно. Действительно, если допустить, что

− другое представление , то , , ,

, , , , , , ,

откуда следует, что ,…, , .