Розділ IV. Многочлени над полем раціональних чисел та

Алгебраїчні числа

Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна.

 

Будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх цих коефіцієнтів.

 

Теорема 1. Щоб число , де () = 1 було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами необхідно, щоб було дільником вільного члена многочлена , а - дільником старшого коефіцієнта цього рівняння.

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами рівний 1, то всі раціональні корені цього рівняння є цілі числа і є дільниками вільного члена.

 

Теорема 2 Щоб дріб , де () = 1 був раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на , де 0.

 

· Ця умова використовується частіше для = 1, при цьому числа і мають бути цілими.

 

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт многочлена з цілими коефіцієнтами рівний 1, то його раціональними коренями можуть бути лише такі цілі числа , для яких ділиться на () при будь-якому цілому, причому () 0.

Теорема 3. Для того, щоб многочлен з цілими коефіцієнтами був звідним у полі Q раціональних чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідний у кільці Z цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Теорема 4. У кільці многочленів над полем раціональних чисел є многочлени довільного степеня, незвідні у полі Q.

Теорема 5. Якщо многочлен з раціональними коефіцієнтами, степінь якого більший за 1, має хоч один раціональний корінь , то звідний у полі раціональних чисел.

Теорема 6. Якщо многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами не має раціональних коренів, то він незвідний у полі раціональних чисел.

 

Теорема 7. (Критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами):

Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі раціональних чисел.

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

12.1. Розв¢зати рівняння .

Розв’язання.

Знайдемо спочатку раціональні корені рівняння (якщо вони є). Раціональними коренями тут можуть бути числа виду:

Знайдемо межі дійсних коренів даного рівняння:

.

Всі можливі корені входять в цей інтервал.

Знаходимо: .

Поставимо умову, щоб числа були цілими:

Задовольняє умову . Перевіримо за схемою Горнера чи є це коренем даного рівняння:

		-5		-2
½		-4

 

= 1/2 є коренем многочлена. Знаходимо інші корені:

 

Отже, корені .

12.2. Знайти раціональні корені: .

Розв’язання.

Робимо заміну:

 

 

Повертаємось до змінної . Маємо два рівняння:

 

(1) або

(2)

 

Раціональними коренями рівняння (1) можуть бути числа 1, а рівняння (2): 1, 3.Перевіркою переконаємося, що коренями є

 

12.3. Розкласти на незвідні у полі множники многочлен .

Розв’язання.

.

12.4. Знайти кратність коренів многочлена

 

Розв’язання.

Коренями можуть бути числа

Скористаємося схемою Горнера:

 

			-1	-7
				-4	-4		1-корінь
							Перевірка кратності кореня
							Перевірка кратності кореня
-1							-1-корінь
-1							Перевірка кратності кореня
							2-не є коренем
-2							-2-корінь
-2							Перевірка кратності кореня
-2							Перевірка кратності кореня

 

Як бачимо рівняння має три кореня: Корені 1 і -2 мають кратність 2,

а -1- це корінь кратності 1.

 

 

§ 13. Алгебраїчні і трансцендентні числа.
Будова простого алгебраїчного розширення поля.

Нехай – деяке числове поле.

Означення 1. Число α називається алгебраїчним відносно поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем .

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля називається трансцендентним відносно поля Р.

Означення 2. Якщо α є алгебраїчним числом відносно поля , то в кільці існує єдиний незвідний зведений ( = 1) многочлен , який має α своїм коренем, а його степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем α.

Означення 3. Мінімальним полем {M}, що містить дану числову множину М, називається поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять множину М.

Означення 4. Поле , утворене приєднанням до поля числа α, алгебраїчного (трансцендентного) відносно поля , називається простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля Р.

Теорема 1. Поле , утворене з поля приєднанням кореня α, незвідного у полі многочлена -го степеня , складається з усіх чисел виду , де - довільні числа з поля .

Наслідок. Якщо α - корінь многочлена другого степеня над полем , причому , то просте алгебраїчне розширенням поля Р, утворене приєднанням числа α, складається з усіх чисел виду , де і – довільні числа з поля .

Означення 5. Якщо корінь α квадратного тричлена над полем не належить полю , то просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням до нього числа α, називається квадратичним розширенням

Поля Р.

Означення 6. Розширення поля називається скінченим, якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля : . Система - базис поля відносно поля .

Теорема 2. Просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням алгебраїчного відносно числа α, є скінченим розширенням поля . Степінь розширення над полем дорівнює степеню числа a відносно .

Наслідок. Степінь будь-якого квадратичного розширення числового поля рівне 2.

Означення 7. Розширення є складним розширенням поля Р, якщо існує такий ланцюжок розширень , що , причому кожне є алгебраїчним числом над полем (при ).

Означення 8. Розширення поля називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля .