Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени.

Означення 1.Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності R називається кільце многочленів від однієї змінної над кільцем , тобто = [ ].

Кільце многочленів над областю цілісності R є область цілісності, причому кожен елемент можна подати як скінчену суму: , (1),

де

Означення 2.Кожний елемент кільця називається многочленом від змінних над і позначається ,

і т.д.

Кожен доданок в сумі (1) називається членом многочлена , елемент – коефіцієнтом цього члена. Два члени, які відрізняються тільки коефіцієнтами називаються подібними.

 

Приклад: -многочлен від двох зміннихx, y.

 

Теорема 1.Будь-який многочлен можна подати у канонічній формі ( без подібних членів ).

Означення 2Степенем члена многочлена називається сума . Число називається степенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.

 

Приклад:

7 – степінь многочлена, - старший член многочлена.

Означення 3.Якщо всі члени многочлена мають однаковий степінь, то многочлен називається однорідним.

Теорема 2.Якщо і – відмінні від нуля многочлени з , де – область цілісності, то .

 

Нехай і - два члени многочлена . Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо . Відношення “бути вищим” на множині членів многочленів є лінійним строгим порядком, його називають лексикографічним(позначають ).

Приклад: - лексикографічний запис многочлена, - вищий член.

 

Лема 1.Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

Означення 4. Вважатимемо, що многочлен ділиться на многочлен і записуватимемо , якщо існує такий многочлен , що . При цьому - дільник .

 

Властивості подільності:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Означення 5. Многочлен називається незвідним у
полі Р, якщо і .

Многочлен називається звідним у полі Р, якщо і .

 

Властивості незвідних многочленів:

1) Якщо р незвідний у полі многочлен, то і будь-який асоційований з ним многочлен незвідний у полі .

2) Якщо і незвідні у полі Р многочлени і , то і асоційовані.

3) Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

Теорема 3. Будь-який многочлен над полем Р ненульового степеня множна подати як добуток многочленів, незвідних у полі Р, причому єдиним способом з точністю до сталих множників і їх порядку.

Лема 2.Для будь-якої скінченої системи елементів ( – область цілісності), відмінних від нуля, існує єдиний ( з точністю до дільників одиниці ) НСД.

Означення 6.Многочлен називається примітивним (відносно ), якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.

Лема 3.Добуток двох примітивних многочленів з є примітивний многочлен.

Означення 7.Многочлен називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.

 

Приклад: симетричний відносно ;

симетричний відносно , але несиметричний відносно або не симетричний відносно

 

Властивості симетричних многочленів:

1) Сума, різниця і добуток симетричних многочленів від n змінних над деяким полем є симетричний многочлен над цим полем.

Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів від змінних над полем утворює область цілісності з 1 відносно дій додавання і множення.

2) Якщо симетричний многочлен містить деякий член , то він містить і член, утворений з даного, внаслідок будь-якої перестановки показників .

3) Якщо є вищий член симетричного многочлена, то .

 

Теорема 4. (основна теорема теорії симетричних
многочленів)

Всякий симетричний многочлен від змінних над полем можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому ж полю , причому це представлення єдине.

 

Елементарні симетричні многочлени:

 

Представлення симетричних сум через елементарні симетричні многочлени:

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

5.1.Упорядкувати лексикографічно і знайти вищий член многочлена з кільця .

 

Розв’язання.

Маємо

Вищий член многочлена: . Многочлен впорядковано за спаданням степенів .

 

5.2.Застосовуючи заміну розкласти на незвідні у полі многочлен .

 

Розв’язання.

Маємо:

.

 

5.3. Чи симетричні многочлени:

.

 

Розв’язання.

Нехай , тоді ,

цей многочлен несиметричний.

.

Розв’язання.

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Цей многочлен симетричний.

 

5.4. Виразити через елементарні симетричні многочлени

.

Розв’язання.

 

§ 6. Застосування симетричних многочленів до розв¢язування деяких задач з елементарної алгебри.