Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

 

Нехай - деякий многочлен над полем . Якщо , то існує розширення поля , в якому міститься деякий корінь многочлена .З цього твердження випливає, що для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення поля , що можна подати в у вигляді добутку лінійних множників.

Поле називається полем розкладу многочлена , якщо розкладається в на лінійні множники. Поле , яке є полем розкладу будь-якого многочлена , називається алгебраїчно замкненим.

 

Теорема 1. Многочлен непарного степеня над полем дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.

Теорема 2. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

Теорема 3. (Основна теорема теорії многочленів):

Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

Теорема 4. Кожний многочлен, степінь якого вища за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.

Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.

 

Теорема 5. Кожний многочлен -го степеня у полі комплексних чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники у цьому полі:

,

де - корені, - старший коефіцієнт .

Терема 6. Многочлен -го степеня у полі комплексних чисел має точно коренів.

 

Очевидно, що всі корені многочлена над полем комплексних чисел належать цьому ж полю, тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле С (поле комплексних чисел). Тому поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим і для коренів многочлена у полі С є справедливими формули Вієта:

 

..........................................

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

8.1. Знайти многочлен найменшого степеня, в якого число 2 - подвійний корінь, а – прості.

 

Розв’язання.

Могочлен , виходячи з умови, можна розкласти на незвідні множники:

 

8.2. Знайти суму кубів коренів многочлена

 

Розв’язання.

Нехай – корені многочлена . За теоремою Вієта маємо систему:

 

 

8.3. Знайти зведені многочлени, в яких корені задовольняють умову: , а є коренями многочлена .

 

Розв’язання.

Запишемо многочлен

.

За теоремою Вієта при умові, що - корені , маємо:

Отримаємо:

 

8.4. Розкласти на незвідні множники многочлен .

Розв’язання.

Знайдемо корені многочлена .

 

Тоді маємо, що

8.5. Знайти суму кубів коренів многочлена

Розв’язання.

За теоремою Вієта маємо:

Тоді

8.6. Корені многочлена утворюють арифметичну прогресію. Знайти цей многочлен і його корені, якщо

Розв’язання.

Нехай -корені многочлена . Так як вони утворюють арифметичну прогресію, то виконується така умова:

 

За теоремою Вієта маємо:

 

Складемо систему:

Розв¢язавши її отримаємо такі значення:

Отже,

Многочлени над полем дійсних чисел.

Нехай (1) - многочлен з дійсними коефіцієнтами.

 

Теорема 1. Якщо комплексне число - є коренем многочлена (1), то спряжене комплексне число є коренем цього ж многочлена.

Теорема 2. Якщо комплексне число - є коренем -ї кратності многочлена з дійсними коефіцієнтами (1), то спряжене комплексне число є коренем многочлена тієї ж кратності.

Теорема 3. Кожний многочлен над полем , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.

Теорема 4. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиний розклад на незвідні множники (лінійні і квадратні тричлени) в цьому полі виду:

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

9.1. Розв’язати рівняння , якщо .

 

Розв’язання.

Задане рівняння має дійсні коефіцієнти, тому число теж є коренем, а многочлен ділиться на :

(наслідок з теореми Безу). Виконаємо ділення ”кутом”:

 

x⁴ - x³ - 11x² + 31x - 20 | x² - 4x + 5

x⁴ - 4x³ + 5x² | x² + 3x - 4

3x³ - 16x² + 31x

3x³ - 12x² + 15x

_-4x² + 16x - 20

-4x² + 16x - 20

Щоб знайти інші корені заданого рівняння розв’яжемо рівняння .

Корені: .Тому

9.2. Число є коренем рівняння з дійсними коефіцієнтами . Знайти та два інші корені.

Розв’язання.

Маємо , а тому - теж корінь (див. вище).Тоді многочлен поділимо на : .

 

x³ + x² + ax + b | x² + 6x + 10

x³ + 6x² + 10x | x - 5

-5x² + (a - 10)x + b

-5x² - 30x - 50

(a + 20)x + (b + 50) =

Щоб необхідно і достатньо, щоб :

 

, 0 тому .

 

Тоді

Рівняння третього степеня.

Нехай - рівняння третього степеня з комплексними коефіцієнтами. За допомогою підстановки зведемо його до виду (1)

 

Число називають дискримінантом рівняння (1). Корені цього рівняння знаходять за формулою , яка називається формулою Кардано.

Якщо і є тими значеннями кубічних коренів, при яких є коренями рівняння (1), то решту коренів цього рівняння обчислюють так:

Числа знаходяться з умови .

 

Якщо коефіцієнти p i q рівняння (1) є дійсними числами, то:

1) при рівняння має один дійсний корінь і два комплексних спряжених корені;

2) при рівняння має три дійсних корені і два з яких дорівнюють один одному;

3) при рівняння має три дійсних різних корені.