Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.



Означення 1. Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності Rназивається вираз виду:

, де

- довільне ціле невід’ємне число,

– елементи R,

– деякі символи;

- k-ий степінь змінної ,

- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при (k= ).

 

Приклад:

Означення 2. Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля ( R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності ).

Означення 3.Вираз (k = ) називається k-тим
членом або членом k-го степеня многочлена , - нульовимабо вільним членом.

Якщо (тобто є нульовим елементом області цілісності R), то кажуть, що k-тий член многочлена дорівнює нулю або його немає.

Означення 4.Відмінний від нуля член многочлена , степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена.

 


З попереднього прикладу:

5 – старший член, 5 – старший коефіцієнт,

4 – степінь многочлена.

Степінь позначають deg f.

 

Означення 5.Елемент 0 R вважаємо константою і многочленом над R. Його називають нуль-многочленом, і позначають , тобто .

Означення 6. Канонічною формою многочлена називається такий запис, коли члени многочлена упорядковано за спаданням степеня .

 

Приклад: - канонічна форма, а

- не канонічна форма запису многочлена.

 

Означення 7. Сумою многочленів

називають многочлен

,

Наслідок 1. Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого з степенів даних многочленів:

deg ( + ) ≤ max (deg , deg ).

Наслідок 2. Для довільного многочлена

 

Означення 8. Добутком многочленів

називається многочлен , де , , тобто .

Наслідок 3. Якщо і не є нуль-многочленом, то

deg ( ) = deg + deg .

Наслідок 4. Якщо = , то = .

Означення 9. Якщо многочлен R[x], має канонічну форму, i , то елемент з
кільця R називається значенням многочлена при і
позначається .

Якщо , то число називається коренем
многочлена
.

Означення 10. Многочлени і називаються рівнимиміж собою = , якщо їх канонічні форми збігаються: мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти (алгебраїчна рівність многочленів).

Означення 11. Кожен многочлен R[x] визначає відображення jf = R®R таке, що jf ( ) = .

Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції jf і jg, які вони визначають (функціональна рівність многочленів).

 

Алгебраїчне і функціональне тлумачення многочленів рівносильні над областю цілісності характеристики 0.

 

Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то очевидно вони рівні і функціонально. Обернене твердження не виконується.

 

Означення 12.Нехай Р- деяке поле. Многочлен P[x] ділиться націло на P[x] ( записується ), якщо існує многочлен P [x] такий, що = .

 


Відношення подільності многочленів над полем Р має такі властивості:

1) [ Þ ;

2) [ Þ
Þ ( ± ) ];

3) [ Þ P ];

4) [ c];

5) [ Þ
Þ P [x] = c ];

6) [ Þ
Þ c ];

7) [
Þ

Þ [( + … + ) ].

Означення 13. У кільці Р[x] многочлени і асоційовані, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою:

.

Теорема 1. Довільний многочлен Р[x] ділиться з остачею на будь-який многочлен Р[x], ¹ 0; при цьому частка і остача належать Р[x] і визначаються однозначно, тобто

, причому або deg < deg , де

-ділене, - дільник, - частка, - остача.

 


Для знаходження частки і остачі від ділення многочлена на над полем Р використовують різні методи: ділення “кутом”, метод невизначених коефіцієнтів, табличні схеми.

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

 

1.1.Знайти всі цілі числа і , при яких многочлен є квадратом деякого многочлена з кільця , та записати многочлен .

Розв’язання.

Многочлен має степінь 4. Тому степінь шуканого многочленна

(якщо він існує!) рівна 2. Нехай і . Запишемо многочлен у канонічній формі:

.

Так як ці многочлени рівні, то маємо систему рівнянь:

З першого і останнього рівнянь системи знаходимо, що .Це означає, що система рівна сукупності чотирьох систем:

Отже, при і многочлени і мають вигляд:

При і отримуємо такі многочлени:

1.2.Довести, що з функціональної точки зору наступні многочлени дорівнюють один одному: з кільця .

 

Розв’язання.

- остачі від ділення на 3 (лишки за модулем 3).

З функціональної точки зору многочлени рівні, якщо рівні між собою функції jf і jg , які вони визначають, тобто, якщо функції набувають однакових значень при однакових лишках:

 

 

Отже,

 

1.3.Знайти суму коефіцієнтів многочлена: у кільці .

Розв’язання.

Сума коефіцієнтів дорівнює значенню многочлена при .

1.4. Знайти остачу від ділення на у кільці Z[x].

Розв’язання.

Для многочленів i в кільці Z[x] застосуємо теорему про ділення з остачею. Тоді існують такі многочлени i , що

= + i deg < 2. Тоді

Тому можемо записати таку рівність:

.

Враховуючи, що g (-1) = g (1) = 0, то підставивши ці значення замість у рівність матимемо:

Тому = + 2.

1.5.Остачі від ділення многочленів на в кільці Q[x] відповідно дорівнюють , Знайти остачу від ділення многочлена на g (x).

Розв’язання.

За теоремою про ділення з остачею маємо:

Запишемо умову задачі згідно цих розкладів:

Звідси маємо, що шукана остача .


§ 2. Ділення многочлена на двочлен ( x-a ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( x-a). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда.

Теорема Безу. Для будь-якого елемента a з поля Р остача при діленні многочлена P[x] на ( – a) дорівнює (a).

Наслідок. Якщо = a є коренем , то ( - a).

Приклад.1 Поділити многочлен на двочлен( – a ) можна “кутом”:

 

 

_4x4 + x3 - ділене |x + 1 + i - дільник

4x4 + (4 + 4i) x3 |4x3 – (3 + 4i) x2 + (7i - 1) x + 8 – 6i = - частка

_-(3 + 4i) x3

-(3 + 4i) x3 – ( 1+ i)(3 + 4i) x2

_(7i - 1) x2
(7i - 1) x2 + (1 + i)(7i - 1) x
_(8 - 6i) x
(8 - 6i) x + (1 + i)(8 - 6i)
-2i - 14 = - остача

2. Метод невизначених коефіцієнтів :

4 4 + 3 = ( + 1 + i) + , deg 3, deg < 2

тому = A3 3 + A2 2 + A1 + A0,

= B1 + B0

4 4 + 3 = ( + 1 + i)( A3 3 + A2 2 + A1 + A0) + B0

маємо:

 

тому = 4 3 – (3 + 4i) 2 + (7i - 1) + 8 – 6i

= -2i - 14.

 

3. Схема Горнера:

a = -1 - i

 

Робоча стрічка 4 1 0 0 0
-1 - i
 
 

 


4  
 
 


A3

-3 - 4i
 
 

 


A2

7i – 1
 
 

 


A1

-6i + 8  
 
 


A0

2i - 14 =     B0    

 

При кожному наступному діленні старший коефіцієнт переписується, а робочою стрічкою стає щойно написана стрічка з коефіцієнтів.

 

Розкласти многочлен за степенями ( x - a ) означає представити його у вигляді: = cn ( - a )n + cn-1 ( - a )n-1 + … + c1 ( - a ) + c0

Це зручно робити за схемою Горнера, де с0, с1,..., сn являються частками при послідовному діленні многочлена на ( - a).

Приклад: Розкласти многочлен = 4 + 3 + 2 + за степенями

( - a), = в кільці Z3[ ].

Розв’язання.

Виконаємо послідовне ділення многочлена на двочлен ( - ), використовуючи схему Горнера.

 

 
= 0
1  
= = С2    
= С3      
= С4        

 

Маємо = ( - )4 + ( - )2 + ( - ).

 

Означення 1. Якщо многочлен є дільником многочлена і многочлена , то він називається спільним
дільником f(x) i g(x).

Означення 2. Спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожен інший спільний дільник і , називається найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f(x),g(x)).

Означення 3. Многочлени і Р[x] називаються взаємно простими, якщо їх спільний дільник є многочленом нульового степеня: .

Теорема 2. Для будь-яких двох многочленів i Р [x] існує НСД , такий, що = + .

Таке представлення називається лінійним представленням НСД, де і – деякі многочлени з Р[ ].

Наслідок. Многочлени i Р[x] взаємно прості тоді і тільки тоді, коли існують такі многочлени і Р[x], що

+ = 1.

 

Властивості взаємно простих многочленів:

1) [( , ) = 1 ( , ) = 1
( , ) = 1

2) [ ( , ) = 1
]


3) [ ( , ) = 1
]

Алгоритм Евкліда.

Маємо і , причому deg deg . Виконаємо послідовне ділення :

= +

= +

= +

= +

=

Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .

 

Властивості НСД:

1) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД – дільники одиниці кільця Р[x];

2) якщо – НСД многочленів і , то " с 0 і – теж НСД многочленів і .

3) якщо i - НСД многочленів і , то , бо

- НСД , а , бо – НСД. Тоді i – aсоційовані, тобто = , де c – const, c 0.

 

Зауваження:НСД можна обчислювати з точністю до сталого множника.

Приклад: Знайти НСД = 4 + 3 + 2 + + 1 i

= 5 3 + 4 2 + 3 + 2.

Розв’язання.

1) ( : ) ( щоб уникнути дробів множимо на 5)


x4 + x3 + x2 + x + 1 |5x3 + 4x2 + 3x + 2

_5x4 + 5x3 + 5x2 + 5x + 5 |x + 1 = - частка

5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x

x3 + 2x2 + 3x + 5

_5x3 + 10x2 + 15x + 25

5x3 + 4x2 + 3x + 2

6x2 + 12x + 23 = – остача

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.212.130 (0.049 с.)