Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.

Означення 1. Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності R називається вираз виду:

, де

- довільне ціле невід’ємне число,

– елементи R,

– деякі символи;

- k-ий степінь змінної ,

- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при (k= ).

 

Приклад:

Означення 2. Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля (R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності).

Означення 3. Вираз (k = ) називається k-тим
членом або членом k-го степеня многочлена , - нульовим або вільним членом.

Якщо (тобто є нульовим елементом області цілісності R), то кажуть, що k-тий член многочлена дорівнює нулю або його немає.

Означення 4. Відмінний від нуля член многочлена , степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена.

 

З попереднього прикладу:

5 – старший член, 5 – старший коефіцієнт,

4 – степінь многочлена.

Степінь позначають deg f.

 

Означення 5. Елемент 0 R вважаємо константою і многочленом над R. Його називають нуль-многочленом, і позначають , тобто .

Означення 6. Канонічною формою многочлена називається такий запис, коли члени многочлена упорядковано за спаданням степеня .

 

Приклад: - канонічна форма, а

- не канонічна форма запису многочлена.

 

Означення 7. Сумою многочленів

називають многочлен

,

Наслідок 1. Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого з степенів даних многочленів:

deg ( + ) ≤ max (deg , deg ).

Наслідок 2. Для довільного многочлена

 

Означення 8. Добутком многочленів

називається многочлен , де , , тобто .

Наслідок 3. Якщо і не є нуль-многочленом, то

deg ( ) = deg + deg .

Наслідок 4. Якщо = , то = .

Означення 9. Якщо многочлен R[x], має канонічну форму, i , то елемент з
кільця R називається значенням многочлена при і
позначається .

Якщо , то число називається коренем
многочлена .

Означення 10. Многочлени і називаються рівними між собою = , якщо їх канонічні форми збігаються: мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти (алгебраїчна рівність многочленів).

Означення 11. Кожен многочлен R[x] визначає відображення j_f = R®R таке, що j_f () = .

Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції j_f і j_g, які вони визначають (функціональна рівність многочленів).

 

Алгебраїчне і функціональне тлумачення многочленів рівносильні над областю цілісності характеристики 0.

 

Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то очевидно вони рівні і функціонально. Обернене твердження не виконується.

 

Означення 12. Нехай Р- деяке поле. Многочлен P[x] ділиться націло на P[x] (записується ), якщо існує многочлен P [x] такий, що = .

 

Відношення подільності многочленів над полем Р має такі властивості:

1) [ Þ ;

2) [ Þ
Þ ( ± ) ];

3) [ Þ P ];

4) [ c];

5) [ Þ
Þ P [x] = c ];

6) [ Þ
Þ c ];

7) [ …
Þ

Þ [( + … + ) ].

Означення 13. У кільці Р[x] многочлени і асоційовані, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою:

.

Теорема 1. Довільний многочлен Р[x] ділиться з остачею на будь-який многочлен Р[x], ¹ 0; при цьому частка і остача належать Р[x] і визначаються однозначно, тобто

, причому або deg < deg , де

- ділене, - дільник, - частка, - остача.

 

Для знаходження частки і остачі від ділення многочлена на над полем Р використовують різні методи: ділення “кутом”, метод невизначених коефіцієнтів, табличні схеми.

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

 

1.1. Знайти всі цілі числа і , при яких многочлен є квадратом деякого многочлена з кільця , та записати многочлен .

Розв’язання.

Многочлен має степінь 4. Тому степінь шуканого многочленна

(якщо він існує!) рівна 2. Нехай і . Запишемо многочлен у канонічній формі:

.

Так як ці многочлени рівні, то маємо систему рівнянь:

З першого і останнього рівнянь системи знаходимо, що .Це означає, що система рівна сукупності чотирьох систем:

Отже, при і многочлени і мають вигляд:

При і отримуємо такі многочлени:

1.2. Довести, що з функціональної точки зору наступні многочлени дорівнюють один одному: з кільця .

 

Розв’язання.

- остачі від ділення на 3 (лишки за модулем 3).

З функціональної точки зору многочлени рівні, якщо рівні між собою функції j_f і j_g , які вони визначають, тобто, якщо функції набувають однакових значень при однакових лишках:

 

 

Отже,

 

1.3. Знайти суму коефіцієнтів многочлена: у кільці .

Розв’язання.

Сума коефіцієнтів дорівнює значенню многочлена при .

1.4. Знайти остачу від ділення на у кільці Z[x].

Розв’язання.

Для многочленів i в кільці Z[x] застосуємо теорему про ділення з остачею. Тоді існують такі многочлени i , що

= + i deg < 2. Тоді

Тому можемо записати таку рівність:

.

Враховуючи, що g (-1) = g (1) = 0, то підставивши ці значення замість у рівність матимемо:

Тому = + 2.

1.5. Остачі від ділення многочленів на в кільці Q[x] відповідно дорівнюють , Знайти остачу від ділення многочлена на g (x).

Розв’язання.

За теоремою про ділення з остачею маємо:

Запишемо умову задачі згідно цих розкладів:

Звідси маємо, що шукана остача .

§ 2. Ділення многочлена на двочлен (x-a). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями (x-a). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда.

Теорема Безу. Для будь-якого елемента a з поля Р остача при діленні многочлена P[x] на ( – a) дорівнює (a).

Наслідок. Якщо = a є коренем , то ( - a).

Приклад.1 Поділити многочлен на двочлен ( – a) можна “кутом”:

 

 

_4x⁴ + x³ - ділене | x + 1 + i - дільник

4x⁴ + (4 + 4i) x³ |4x³ – (3 + 4i) x² + (7i - 1) x + 8 – 6i = - частка

_-(3 + 4i) x³

-(3 + 4i) x³ – (1+ i)(3 + 4i) x²

_(7i - 1) x²
(7i - 1) x² + (1 + i)(7i - 1) x
_(8 - 6i) x
(8 - 6i) x + (1 + i)(8 - 6i)
-2i - 14 = - остача

2. Метод невизначених коефіцієнтів:

4 ⁴ + ³ = ( + 1 + i) + , deg 3, deg < 2

тому = A₃ ³ + A₂ ² + A₁ + A₀,

= B₁ + B₀

4 ⁴ + ³ = ( + 1 + i)(A₃ ³ + A₂ ² + A₁ + A₀) + B₀

маємо:

 

тому = 4 ³ – (3 + 4i) ² + (7i - 1) + 8 – 6i

= -2i - 14.

 

3. Схема Горнера:

a = -1 - i

 

Робоча стрічка	4	1	0	0	0
-1 - i	4   A3	-3 - 4i   A2	7i – 1   A1	-6i + 8   A0	2i - 14 =     B0

 

При кожному наступному діленні старший коефіцієнт переписується, а робочою стрічкою стає щойно написана стрічка з коефіцієнтів.

 

Розкласти многочлен за степенями (x - a) означає представити його у вигляді: = c_n ( - a)ⁿ + c_n-1 ( - a)^n-1 + … + c₁ ( - a) + c₀

Це зручно робити за схемою Горнера, де с₀, с₁,..., с_n являються частками при послідовному діленні многочлена на ( - a).

Приклад: Розкласти многочлен = ⁴ + ³ + ² + за степенями

( - a), = в кільці Z₃[ ].

Розв’язання.

Виконаємо послідовне ділення многочлена на двочлен ( - ), використовуючи схему Горнера.

 

		=			=С0
				=С1
		=	= С2
		= С3
	= С4

 

Маємо = ( - )⁴ + ( - )² + ( - ).

 

Означення 1. Якщо многочлен є дільником многочлена і многочлена , то він називається спільним
дільником f(x) i g(x).

Означення 2. Спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожен інший спільний дільник і , називається найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f(x),g(x)).

Означення 3. Многочлени і Р[x] називаються взаємно простими, якщо їх спільний дільник є многочленом нульового степеня: .

Теорема 2. Для будь-яких двох многочленів i Р [x] існує НСД , такий, що = + .

Таке представлення називається лінійним представленням НСД, де і – деякі многочлени з Р[ ].

Наслідок. Многочлени i Р[x] взаємно прості тоді і тільки тоді, коли існують такі многочлени і Р[x], що

+ = 1.

 

Властивості взаємно простих многочленів:

1) [(, ) = 1 (, ) = 1
(, ) = 1

2) [ (, ) = 1
]

3) [ (, ) = 1
]

Алгоритм Евкліда.

Маємо і , причому deg deg . Виконаємо послідовне ділення:

= +

= +

= +

…

= +

=

Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .

 

Властивості НСД:

1) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД – дільники одиниці кільця Р[x];

2) якщо – НСД многочленів і , то " с 0 і – теж НСД многочленів і .

3) якщо i - НСД многочленів і , то , бо

- НСД, а , бо – НСД. Тоді i – aсоційовані, тобто = , де c – const, c 0.

 

Зауваження: НСД можна обчислювати з точністю до сталого множника.

Приклад: Знайти НСД = ⁴ + ³ + ² + + 1 i

= 5 ³ + 4 ² + 3 + 2.

Розв’язання.

1) (: ) (щоб уникнути дробів множимо на 5)

x⁴ + x³ + x² + x + 1 | 5x³ + 4x² + 3x + 2

_5x⁴ + 5x³ + 5x² + 5x + 5 |x + 1 = - частка

5x⁴ + 4x³ + 3x² + 2x

x³ + 2x² + 3x + 5

_5x³ + 10x² + 15x + 25

5x³ + 4x² + 3x + 2

6x² + 12x + 23 = – остача