Застосування симетричних многочленів до розв’язування деяких задач з елементарної алгебри

Задачі

1) У множині дійсних чисел розв’язати системи:

2) Розв’язати систему ірраціональних рівнянь:

3) Розв’язати системи рівнянь, звівши їх за допомогою допоміжних змінних до симетричних многочленів:

4) Розв’язати такі рівняння:

5) Скоротити дріб

6) Скласти квадратне рівняння, коренями якого є куби коренів рівняння

7) Скласти квадратне рівняння, коренями якого є , якщо відомо, що

8) Знайти многочлен третього степеня, коренями якого є:
а) куби комплексних коренів многочлена
б) четверті степеня комплексних коренів многочлена

9) Знайти многочлен четвертого степеня, коренями якого є:
а) квадрати комплексних коренів многочлена
б) куби комплексних коренів многочлена

10) Довести такі тотожності:

11) Довести, що коли , то

12) Розкласти на незвідні над полем R множники симетричний однорідний многочлен

 

Дискримінант та результант двох многочленів, їх властивості і застосування до розв'язування задач

Питання для самоконтролю:

 

1) Що називається результантом?

2) Назвіть властивості результанту.

3) Щоб многочлени і мали спільний корінь необхідною і достатньою умовою є …

4) Як записується результант у формі Сільвестра?

5) Якщо , то …

6) Дискримінант двох многочленів - це …

7) Умова існування кратного кореня.

8) Який алгоритм виключення невідомих з системи рівнянь:

Задачі

 

1) Обчислити результант многочленів:
а) використовуючи означення;
б) використовуючи симетричні многочлени;
в) у формі Сільвестра.

2) При якому значенні мають спільні корені слідуючі многочлени:

3) Обчислити дискримінант многочленів:

4) Довести, що дискримінант многочлена дорівнює дискримінанту многочлена

5) При якому значенні многочлен має кратний корінь:

6) Розв’язати системи рівнянь:

 

Розділ III.Многочлени над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел

 

Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел

Питання для самоконтролю:

1) Яке поле називається алгебраїчно замкненим?

2) Скільки дійсних і комплексних коренів має многочлен з дійсними коефіцієнтами?

3) Сформулюйте основну теорему теорії многочленів.

4) Які многочлени називаються звідними у полі комплексних чисел?

5) Необхідна і достатня умова незвідності многочлена у
полі С: …

6) Скільки коренів має многочлен -го степеня у полі комплексних чисел?

 

Задачі

 

1) Знайти многочлен найменшого степеня, в якого:
а) 1 – подвійний корінь, а 2, 3, – прості;
б) -1 – потрійний корінь, а 3 і 4 – прості.

2) Знайти многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, якщо – його потрійний корінь.

3) Знайти суму квадратів коренів многочлена

5) Сума двох коренів рівняння дорівнює 1. Визначити .

6) Використовуючи формули Вієта, побудувати многочлен за його коренями:

7) Знайти зведений многочлен, в якого корені задовольняють умову: , а , , є коренями многочлена .

8) Корені многочлена утворюють арифметичну прогресію. Знайти цей многочлен і його корені, якщо .

9) Чи утворюють корені рівняння арифметичну прогресію?

10) Визначте так, щоб один з коренів многочлена був рівний подвоєному другому кореню.

 

Многочлени над полем дійсних чисел

Питання для самоконтролю:

1) Що можна сказати про спряжене комплексне число , якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами?

2) Який многочлен є звідним у полі дійсних чисел?

3) Як можна многочлен розкласти над полем дійсних чисел на незвідні множники?

Задачі

 

1) Розв’язати рівняння:

, якщо ;
, якщо ;

, якщо .

2) Знайти нормований многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, що має:

а) простий корінь і двократний корінь 1;

b) простий корінь і двократні корені та ;

с) трикратний корінь .

3) Знаючи, що число є коренем многочлена , знайти інші його корені:

4) Розкласти многочлен на множники, незвідні над полем R:

5) Яким умовам повинні задовольняти дійсні коефіцієнти многочлена:

, щоб він мав два різних дійсних корені;

, щоб він мав один дійсний корінь.

Рівняння третього степеня

Питання для самоконтролю:

1) Яке рівняння називається рівнянням третього степеня?

2) Рівняння третього степеня зводиться до рівняння виду за допомогою …

3) Як називається вираз ?

4) Як знайти корені рівняння ?

5) Коли рівняння має один дійсний і два комплексні корені спряжених?

6) Якщо , то які корені має рівняння ?

7) Рівняння має три дійсні корені, якщо …

8) U₁ i V₁ – це …

9) З якої умови знаходиться числа U₁ i V₁?

 

Задачі

 

1) Звести кубічне рівняння до виду, у якому відсутній доданок з невідомим у другому степені:

2) Розв’язати рівняння:

3) При яких дійсних значеннях рівняння має кратний корінь? Знайти його.

4) Які корені залежно від значення числа має рівняння з дійсними коефіцієнтами ?

5) Розв’язати рівняння , коли відомо, що серед його коренів є два числа, обернених за абсолютною величиною і протилежних за знаком.

6) Розв’язати рівняння , коли відомо, що добуток двох його коренів дорівнює 1.

7) Розв’язати кубічне рівняння , коли відомо, що його коефіцієнти в порядку спадання степенів утворюють геометричну прогресію з знаменником 2.

 

§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів.
Теорема Штурма

 

Питання для самоконтролю:

1) Як розташовані комплексні корені з дійсними коефіцієнтами відносно дійсної осі?

2) Де розміщені всі дійсні корені рівняння ?

3) Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо …

4) Кількість змін знаків деякої впорядкованої послідовності дійсних чисел – це …

5) Сформулюйте правило Декарта.

6) Яка заміна використовується для знаходження кількості від’ємних коренів многочлена ?

7) Щоб побудувати ряд Штурма необхідно…

8) Сформулювати теорему Штурма.

9) Чи мають дві сусідні функції ряду Штурма спільні корені?

10) Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то…

11) Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду, але не проходить через корінь
, то …

12) Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочленна
, то…

 

Задачі

 

1) Знайти верхню межу дійсних коренів многочлена методом Ньютона:

2) Знайти нижню межу дійсних коренів многочлена методом Ньютона:

3) Обмежити зверху і знизу дійсні корені многочленів:

4) Знайти число дійсних коренів для многочленів:
на проміжку [0,2],
на проміжку [-3,5].

5) Відокремити дійсні корені многочленів:

6) Оцінити за правилом Декарта число додатніх і від’ємних коренів многочлена