Основная теорема о симметрических многочленах.

Теорема (основная теорема о симметрических многочленах): всякий симметрический многочлен из кольца можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов над полем , то есть =g(, где многочлен из кольца [ ].

 

До-во: расположим члены многочлена в словарном порядке. Пусть при этом - (7) – высший член многочлена . По свойству 3 симметрических многочленов справедливы неравенства:

- (8)

Рассмотрим выражение - (9).

Подберём показатели так, чтобы высший член многочлена (9) совпал с высшим членом многочлена , то есть с (7).

Высшими членами многочленов соответственно являются , .

Тогда по лемме о высшем члене многочлена высшим членом многочлена (9) будет являться выражение:

–(10);

Это выражение совпадёт с (7) тогда и только тогда, когда будут выполняться равенства:

Из этой системы находим:

;

;

;

…………………….

;

;

Таким образом, высший член многочлена

- (11)

совпадает с высшим членом многочлена .

Вычтем из многочлена многочлен (11). Пусть в результате получим многочлен , то есть В результате вычитания высший член многочлена уничтожится и все члены многочлена будут ниже (7).

Пусть и – (12) высший член многочлена . Вычтем далее из многочлена многочлен .

Получим

В результате вычитания высший член многочлена уничтожится и все члены многочлена будут ниже и т.д. Этот процесс понижения членов многочленов не может продолжаться бесконечно. Действительно, пусть на каком-то -ом шаге в результате вычитания мы получим многочлен , высшим членом которого будет выражение (13). По свойству 3 справедливы неравенства . При этом ≤ , так как член (13) ниже члена (7). Этим условиям может удовлетворять лишь конечное множество упорядоченных систем целых неотрицательных чисел .

Таким образом, в конечном итоге будем иметь:

;

;

;

…………………………………………………….

= +…+ .

до-но.

Следствие: пусть – многочлен из кольца и пусть – все корни этого многочлена. Тогда всякий симметрический многочлен из кольца при , , принимает значение принадлежащее полю .

 

41. Условие при которых многочлены имеют общий корень

 

Теорема: многочлены у которых, по крайней мере, один из коэффициентов и отличен от нуля, т. и т.т. имеют общий корень, когда существуют многочлены и удовлетворяющие следующим условиям:

1)

2) многочлены и представимы в виде

;

3) по крайней мере, один из многочленов и отличен от нуля.

 

до-во:

Необходимость. Пусть многочлены f (x) и g (x) имеют общий корень α.

Тогда они представимы в виде

(1)

Многочлены f (x) и g (x) в равенствах (1) удовлетворяют условиям 1-3теоремы. Действительно, умножив обе части первого равенства на h (x) получим:

Таким образом, выполняется условие 2. Наконец, хотя бы один из многочленов q (x) и h (x) отличен от нуля, в противном случае оба многочлена f (x) и g (x) были бы равны нулю, что противоречит условию.

до-но.

 

42. Результант многочленов Решение системы двух уравнений с двумя переменными с помощью результанта.

 

Определение: результантом многочленов называется определитель определяемый равенством:

=

 

 

Теорема: многочлены у которых, по крайней мере, один из коэффициентов и отличен от нуля, тогда и только тогда имеют общий корень, когда результант этих многочленов равен 0.

Следствие: если результант f и g равен нулю, то либо эти многочлены имеют общий корень, либо оба коэффициента и в этих многочленах равны нулю.

 

Результант многочленов находит практическое применение при решении системы двух уравнений с двумя переменными, из которых хотя быодно нелинейное, т.е. системы вида:

-(4)

где и многочлены из кольца

Расположим члены в многочленах и по убыванию степеней одной изпеременных, например .

;

;

Где , – многочлены от одной переменной . Рассматривая многочлены и как многочлены от одной переменной , составим результант который очевидно является многочленом от одной переменной над полем .

Пусть – решение системы (4). Тогда многочлены и имеют общий корень . По теореме 4.2 в таком случае С другой стороны, если то либо оба коэффициента (β) и (β) равны нулю, либо многочлены и имеют общий корень α. Во втором случае вектор является решением системы (4).

Таким образом, систему (4) можно решать в следующем порядке:

1. Строится результант многочленов и

2. Находятся корни результанта

3. Найденные корни результанта подставляются последовательно в многочлены и Пусть, например, – корень результанта тогда в результате подстановки получим многочлены и от одной переменной . Далее находятся общие корни этих многочленов. Ими будут те и только те числа, которые являются корнями наибольшего общего делителя многочленов и

4. Составляются всевозможные пары чисел где – корень многочлена а α – общий корень многочленов и

Эти пары и составляют множество решений системы (4).

 

43. Необходимое и достаточное условие существования общего корня у многочленов

Теорема: многочлены у которых, по крайней мере, один из коэффициентов и отличен от нуля, тогда и только тогда имеют общий корень, когда результант этих многочленов равен 0.

Следствие: если результант многочленов и равен нулю, то либо эти многочлены имеют общий корень, либо оба коэффициента и в этих многочленах равны нулю.