Системы линейных уравнений. Формулы крамера

Система линейных уравнений: (4)

В (4) х₁,х₂,х₃ - неизвестные, которые необходимо определить, а_i,_j - коэффициенты при неизвестных, в_i - свободные члены.

Определитель системы: т. е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Если определитель системы D¹0, то система имеет единственное решение при любых правых частях, которое может быть найдено по формулам Крамера:

, (7)

где D₁ - определитель, который получается из D заменой первого столбца на столбец правых частей, D₂ - заменой второго столбца, D₃ - третьего столбца, так

, .

ЗАДАЧА № 1

Решить систему линейных уравнений:

Вычисляем:

;

- - ;

;

;

.

Скалярное и векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение вектора на вектор , определяется соотношением:

× = . (6)

Например, × = 3 * (-1) + 1 * 2 + 4 * 1 + 0 * (-4) = 3.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. . (7)

Длина вектора: . (8)

Например, .

Косинус угла между векторами определяется формулой:

. (9)

Векторы называют ортогональными, если * = 0 (т. е. Cosj = 0).

Координаты вектора вычисляются по формуле:

, (10)

где А(а₁, а₂, а₃) и В(в₁, в₂, в₃).

Проекцией вектора на вектор называется произведение длины вектора на косинус угла между векторами и , и обозначается .

Векторное произведение - это вектор, который вычисляется по формуле

= (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃);

. (11)

Разлагаем определитель по первой строке:

;

.

Свойства:

1.

2. ,

3. ,

4. . (12)

Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение трех векторов = (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃),

= (с₁, с₂, с₃) определяется выражением: . (13)

Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

ЗАДАЧА № 2

В треугольнике АВС (А (0, -1, 1), В(а, 0, 3) и С(1, в -1, 0)) найти косинус угла А, площадь треугольника АВС.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

ЗАДАЧА № 3

Найти объем пирамиды

SАВС (S(-1, 1, 0), А(а-1, 2, 2), В(1, 0, с), С(0, в+1, -1)).

1. ;

2. ;

3. .

МАТРИЦЫ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

размера m * n.

а_ij - элемент матрицы А, который расположен в i -й и j - й строках,

например, а₃₁ = 1.

Умножение матрицы на число. Сложение, вычитание матриц

Произведение матриц

Пусть С = А * В. Элемент С_{i j} матрицы произведения вычисляется в результате скалярного произведения i - й строки матрицы А на j - й столбец матрицы В. Предполагается, что число элементов строки матрицы А совпадает с числом элементов столбца матрицы В, т. е. число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В.

Замечание: А*В, вообще говоря, не равно В*А (А*В В*А).

Размер произведения определяется числом строк первого множителя и числом столбцов второго.

Квадратная матрица. Единичная матрица. Обратная матрица

Матрица называется квадратной, если число строк у нее совпадает с числом столбцов.

Квадратная матрица: называется единичной. Легко проверить, что AI = IA = A.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если

А^-1 * А = А * А^-1 = I.

Пусть обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель , и вычисляется по формуле

, где - определитель матрицы А.

Относительно А_ij см. раздел “Разложение определителя по строке или столбцу”.

Рассмотрим систему линейных уравнений: , ее можно

представить в следующем виде: или в матричной записи

Ах=в, где х= , в= .

Если для матрицы А существует обратная, то умножая слева обе части уравнения Ах=в на , получим в, т.к. I, то х= в или

= .Отсюда

является решением исходной системы линейных уравнений.

Такой способ решения системы линейных уравнений называется матричным.

ЗАДАЧА № 4

Для матриц:

, в = вычислить матрицу ,

АВ и обратную к ней. Решить уравнение Сх=в матричным способом.

1. Вычислим: = ;

2. Вычислим: ;

 

3. Вычислим: .

Если çС ç¹ 0, то матрица имеет обратную.

; ; ;

; ; ;

; ;

.

4. Решение уравнения Сх=в записывается следующим образом: х= в, т.е. .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Прямая в R²

X2

L

А(а1а2)

Общим уравнением прямой

является уравнение вида

М(х1х2)

А₁х₁ +А_2­х₂+В=0. (14)

j

X1

Если А₂ ¹0, то, разрешая (14)

относительно х₂ ­, получим

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

. (15)

Геометрический смысл числа k состоит в том, что k = tgj, где j - угол, образованный L с положительным направлением оси ОХ₁. У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂). У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку А(а₁, а₂), записывается в виде: х₂ - а₂ = k(х₁ - а_1­). (16)

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(а₁, а₂) и В(в₁, в₂), имеет вид: . (17)

ЗАДАЧА № 5

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(а, в), В(в, с), С(с, а).

Найти: 1) уравнение стороны ВС;

2) уравнение медианы АМ;

3) уравнение высоты, опущенной из вершины А.

1. Уравнение стороны ВС: .

2. Уравнение медианы АМ: найдем координаты точки М : . Теперь напишем уравнение медианы АМ: .

3. Уравнение высоты АН: найдем угловой коэффициент прямой ВС: .

Так как прямая ВС перпендикулярна АН, то угловой коэффициент прямой АН

. Тогда уравнение высоты имеет вид: .

ДИФФЕРЕНЦИАНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Предел функции

Обозначение: . Читается - предел функции f(x) при х, стремящемся к а. Определение на языке e, d.

Число А называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа e существует положительное число d, такое, что из неравенства следует .