Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Градиент, производная по направлению фнп, касательные плоскости

Поиск
Производная по направления. Градиент

 

Пусть функция двух переменных задана в некоторой окрестности точки . Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором , где . На прямой, проходящей по этому направлению через точку М, возьмем точку ,так что длина отрезка равна . Приращение функции определяется формулой: , где и связаны соотношениями и . Рис. 6.5.1 Определение Предел отношения при называется Производной функции по направлению и обозначается символом : Если функция дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке, с учетом соотношений для и , может быть записана в форме Поделив обе части этого равенства на и переходя к пределу при , получаем формулу для производной функции по направлению:
. (6.5.1)

Рассмотрим функцию трех переменных , дифференцируемую в точке .

Определение

Градиентом функции в точке М называется Вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в этой точке.

Для обозначения градиента функции используется обозначение grad u:

Grad u = . (6.5.2)

Поскольку единичный вектор имеет координаты , то производная по направлению для случая функции трех переменных запишется в виде

Grad U, (6.5.3)

Т. е. имеет форму Скалярного произведения векторов и grad U.

Таким образом, Градиент функции характеризует Направление и Величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

 
Предел отношения Называется Производной от функции U = F (X, Y, Z) По направлению вектора S и обозначается

При этом

 

Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции U = F (X, Y, Z) в этой точке, называется Градиентомфункции U = F (X, Y, Z).

Обозначение:

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S Равняется проекции вектора grad U на вектор S.

Доказательство.

Единичный вектор направления S имеет вид ES ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad U и Es, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad U |, если это направление совпадает с направлением градиента.

Доказательство.

Обозначим угол между векторами S И grad U Через J. Тогда из свойства 1 следует, что

Следовательно, ее наибольшее значение достигается при J =0 и равно |grad U |.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U, равна нулю.

Доказательство.

В этом случае

4. Если Z = F (X,Y) – функция двух переменных, то

Направлен перпендикулярно к линии уровня F (X,Y) = C, проходящей через данную точку

:Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:
Плоскость, определяемая этим уравнением, называется Касательной плоскостьюк графику функции Z= F (X, Y) в точке с координатами (х0,у0,Z0).

 

Частные производные и дифференциалы высшего порядка

Дифференциалы высших порядков

 

Дифференциалом второго порядка функции U = F (X, Y, Z) называется Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков: Дифференциалом порядка K называется полный дифференциал от дифференциала порядка (K – 1): D KU = D (D K- 1 U). Свойства дифференциалов высших порядков 1. K -й дифференциал является однородным целым многочленом степени K относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные K -го порядка, умноженные на цело численные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень): 2. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных
 
Частной производной N -го порядкафункции нескольких переменных называется первая производная от производной (N – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, ). Докажем это утверждение.

Теорема 3. Если функция Z = F (X,Y) И ее частные производные

определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

Доказательство.

Рассмотрим выражение

И введем вспомогательную функцию

Тогда

Из условия теоремы следует, что J (Х) дифференцируема на отрезке [ X, X+ Δ X ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа:

Так как в окрестности точки М определена дифференцируема на отрезке [ Y, Y + Δ Y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа:

Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А:

И введем другую вспомогательную функцию

Проведя те же преобразования, что и для , получим, что

Следовательно,

В силу непрерывности и

.

Поэтому, переходя к пределу при получаем, что

Что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.



Поделиться:


Познавательные статьи:




Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 835; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.21.96 (0.011 с.)