Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Градиент, производная по направлению фнп, касательные плоскости
Определение Градиентом функции Для обозначения градиента функции используется обозначение grad u:
Поскольку единичный вектор
Т. е. имеет форму Скалярного произведения векторов Таким образом, Градиент функции характеризует Направление и Величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке. | |||||||||||||
При этом
Обозначение:
Свойства градиента 1. Производная Доказательство. Единичный вектор направления S имеет вид ES ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad U и Es, то есть указанную проекцию. 2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad U |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство.
Обозначим угол между векторами S И grad U Через J. Тогда из свойства 1 следует, что
Следовательно, ее наибольшее значение достигается при J =0 и равно |grad U |. 3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad U, равна нулю. Доказательство. В этом случае
4. Если Z = F (X,Y) – функция двух переменных, то
Направлен перпендикулярно к линии уровня F (X,Y) = C, проходящей через данную точку | ||||||||||||||
:Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:
|
задана в некоторой окрестности точки 
. Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором 
, где 
. На прямой, проходящей по этому направлению через точку М, возьмем точку 
,так что длина отрезка 
равна 
. Приращение функции 
определяется формулой: 
, где 
и 
связаны соотношениями 
и 
.
Рис. 6.5.1
Определение
Предел отношения 
при 
называется Производной функции по направлению 
и обозначается символом 
:
Если функция 
дифференцируема в точке 
, то ее приращение в этой точке, с учетом соотношений для 
и 
, может быть записана в форме
Поделив обе части этого равенства на 
и переходя к пределу при 
, получаем формулу для производной функции по направлению:
.
, дифференцируемую в точке 
.
в точке М называется Вектор, координаты которого равны соответственно частным производным 
в этой точке.
.
имеет координаты 
, то производная по направлению для случая функции трех переменных запишется в виде
Grad U,
и grad U.
Называется Производной от функции U = F (X, Y, Z) По направлению вектора S и обозначается 
по направлению некоторого вектора S Равняется проекции вектора grad U на вектор S.
Плоскость, определяемая этим уравнением, называется Касательной плоскостьюк графику функции Z= F (X, Y) в точке с координатами (х0,у0,Z0).
Частные производные и дифференциалы высшего порядка
| Дифференциалы высших порядков | 
| 
| 
|
Дифференциалом второго порядка функции U = F (X, Y, Z) называется
Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:
Дифференциалом порядка K называется полный дифференциал от дифференциала порядка (K – 1): D KU = D (D K- 1 U).
Свойства дифференциалов высших порядков
1. K -й дифференциал является однородным целым многочленом степени K относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные K -го порядка, умноженные на цело численные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):
2. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных
| |
Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, Теорема 3. Если функция Z = F (X,Y) И ее частные производные
определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
|
). Докажем это утверждение.
Доказательство.
Рассмотрим выражение
И введем вспомогательную функцию
Тогда
Из условия теоремы следует, что J (Х) дифференцируема на отрезке [ X, X+ Δ X ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа:
Так как в окрестности точки М определена 
дифференцируема на отрезке [ Y, Y + Δ Y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа:
|
|
Тогда
Изменим порядок слагаемых в выражении для А:
И введем другую вспомогательную функцию
Проведя те же преобразования, что и для 
, получим, что
Следовательно,
В силу непрерывности 
и 
.
Поэтому, переходя к пределу при 
получаем, что
Что и требовалось доказать.
Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.
