тригонометрической и показательной формах

 

Пусть даны комплексныt числа , , .

В показательной и тригонометрической формах записи их можно сравнивать, умножать на число, сопрягать, перемножать, делить, возводить в степень и извлекать из них корни. Рассмотрим эти действия подробнее.

 

11.3.1 Два комплексных числа равны, когда их модули равны и аргументы

отличаются на число, кратное .

В противном случае комплексные числа различные;

11.3.2 При умножении комплексного числа на действительное число получается число, модуль которого равен | |×|z| и аргумент при >0 не изменяется либо при <0 увеличивается на ,

11.3.3 При сопряжении комплексного числа получится число с тем же модулем, но с аргументом противоположного знака,

т.е его модуль не меняется, а аргумент изменит знак

(либо вычитается из );

11.3.4 При умножении числа комплексного числа на число получается число, модуль которого получается умножением модуля числа на модуль числа , аргумент получается сложением аргумента числа с аргументом числа ,

т.е. при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются

а аргументы складываются;

 

11.3.5 При делении числа на ненулевое число получается число, модуль которого получается делением модуля числа на модуль числа , аргумент получается вычитанием из аргумента числа аргумента числа ,

,

т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся а аргументы вычитаются;

 

 

11.3.6 При возведении в натуральную степень n комплексного числа

получается комплексное число, модуль которого является n –й степенью

модуля числа z и аргумент получается умножением аргумента числа z

на натуральное число n,

(23) - Формула Муавра;

11.3.7 При извлечении корня степени , из комплексного числа

получается множество комплексных чисел, модули которых являются

корнем степени n из модуля числа z, аргумент каждого получается

подстановкой целого числа k в выражение ,

,

(24)

– Формула Муавра – Лапласа.

Среди корней степени , из комплексного числа z, различных чисел ровно n штук. Они получаются подстановкой последовательно n целых чисел (например к =0, 1, 2, …, n -1) в формулу (24). Такие комплексные числа лежат на одной окружности радиуса с центром в начале координат и являются вершинами вписанного в такую окружность правильного n - угольника с поворотом начальной вершины на угол (при к =0), остальные получаются каждый раз поворотом на угол .

Пример 15

Даны комплексные числа , и .

Найти модули и аргументы чисел .

Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .

Решение:

1) Для числа найдём его модуль и аргумент:

, , .

Тогда ,

;

2) , при этом .

;

3) .

4) , , ,

;

5) .

.

Подставим последовательно к =0, к =1, к =2:

 

 

Изобразим найденные решения уравнения на комплексной плоскости:

все три найденных решения лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом . Три соответствующих точки комплексной плоскости являются вершинами правильного треугольника с поворотом начальной вершины на угол , угол между ними или 120⁰.

 

Упражнения

12.1 В треугольнике АВС проведена медиана AD, D – середина стороны ВС.

Доказать, что .

12.2 Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ , найти суммы векторов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответ:1) ; 2) ; 3) ; 4) .

12.3 Дан тетраэдр ABCD. Найти суммы векторов:

1) ; 2) .

Ответ:1) ; 2) .

12.4 Даны три компланарных единичных вектора вектора ,

причем .

Построить вектор и вычислить его модуль.

Ответ: .

 

12.5 Составляющие для скорости направлены под углом 60 ⁰ друг к другу

и равны соответственно 6 и 4 м/с. Найти скорость результирующего

движения.

Ответ: м/с.

 

12.6 В параллелограмме ABCD , О – точка пересечения

диагоналей. Выразить векторы через векторы и .

Ответ: .

 

12.7 Найти скалярное произведение векторов, модули которых 5 и 6 и угол

между ними равен

1) 45 ⁰; 2) 60 ⁰; 3) 90 ⁰; 4) 120 ⁰; 5) 180 ⁰.

Ответ: 1) 15 ; 2) 15; 3) 0; 4) -15; 5) -30.

 

12.8 Дано ⁰.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Ответ: 1)-10; 2) 25; 3) -39; 4) 61; 5) 1101.

 

12.9 Дано . Найти модуль вектора .

Ответ: .

 

12.10 Даны три некомпланарных вектора , причем известно, что

, ^ .

Найти 1) ; 2) .

Ответ: 1) -3; 2) 26.

 

12.11 Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах и , где и – единичные векторы,

угол между которыми равен 60 ⁰.

Ответ: 3 и .

 

12.12 Найти скалярное произведение векторов

1) и ;

2) и ;

3) и , если А(1; 2; 0), В(0; -1; 3), С(4; -1; 3) и D(2; 0; -2).

Ответ: 1) 5; 2) -3; 3) -16.

 

12.13 При каком значении m векторы =(4; m; -6) и =(m; 2; -7) взаимно

перпендикулярны?

Ответ: -7.

 

12.14 Найти площадь треугольника АВС, если А(1; 2: 3), В(-1; 3; 1) и С(0; -1; 4).

Ответ: .

 

12.14 Найти объем тетраэдра АBCD, если его вершины A(1; 2; 1), B(3; -1; 2),

C(0; 5; -4) и D(5; 1; 1).

Ответ: 13,5.

 

12.15 Записать полярные координаты точек А(0; 3), В(-5; 0), С(2; -4).

Ответ: А(3; 0), В(5; ), С().

 

12.16 Найти решения уравнения .

 

Ответ: z₁=-1, z₂=1, z₃= – 2 i, z₄=2 i.

 

12.17 Изобразить на комплексной плоскости решения уравнения

.

 

Ответ:

 

Вопросы для самоконтроля

13.1 В чём разница между скалярными и векторными величины? Привести насколько примеров величин обоих видов.

13.2 Перечислите способы построения суммы векторов, чем они отличаются и могут ли получиться разные результаты для одинаковых слагаемых.

13.3 Как построить разность двух векторов, как связана разность векторов с суммой таких векторов?

13.4 Перечислить свойства линейных операций над векторами (сложения, вычитания, умножения на число).

13.5 Будут ли линейно зависимыми противоположные векторы?

13.6 Можно ли взять базисом два ненулевых вектора с углом между ними 60⁰?

13.7 Какие векторы задают аффинные координаты (-1; 0), (0; 1), (0; -1)?

13.8 Что можно сказать о взаимном расположении двух векторов, скалярное произведение которых нулевое, отрицательное, положительное?

13.9 Как найти модуль вектора, заданного своим разложением по аффинному базису с известными модулями базисных векторов и углами между ними?

13.10 Как графически найти координаты точки пространства после введения декартовой системы координат этого пространства?

13.11 Как сложить, вычесть два вектора декартовых координатах и умножить их на число? Перечислить свойства этих операций.

13.12 Перечислить способы нахождения результатов скалярного и векторного произведений двух векторов, заданных координатами. Чем существенно отличаются такие результаты?

13.13 Как разделить отрезок, заданный координатами начала и конца в отношении 3:2?

13.14 Перечислить последовательность действий для нахождения площади треугольника, заданного координатами вершин в пространстве.

13.15 Перечислить способ вычисления смешанного произведения трёх векторов и его основные свойства с геометрическим смыслом.

13.16 Как проверить некомпланарность трёх векторов с известными координатами?

13.17 Как найти координаты вектора в аффинном базисе, заданном своими координатами в декартовом базисе?

13.18 Что необходимо задать, чтобы получить полярную систему координат на фиксированной плоскости? Что и как нужно будет измерять, чтобы получать полярные координаты точек плоскости?

13.19 Указать связь между декартовыми и полярными координатами точек плоскости. Каково должно быть взаимное расположение декартовой и полярной систем координат при этом?

14.20 Как перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную. Как выполнить обратное преобразование?

14.21 Записать формулы возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.

 

 

14 Контрольное задание

 

 

14.1 В базисе с модулями и углом между ними

заданы векторы и (см. таблицу).

Найти .

Вариант	Условия
	4	7	j=30 ^о	=2 -3	=5 +
	4	5	j=60 ^о	=2 +	=3 +
	5	3	j=30 ^о	=2 +3	=4 +6
	1	5	j=90 ^о	=2 -	=4 +
	3	5	j=150 ^о	=3 -	= +2
	2	5	j=45 ^о	=5 -	= +3
	2	3	j=90 ^о	=2 -	=5 +2
	4	3	j=30 ^о	=2 -3	= +3
	4	7	j=135 ^о	= -3	=2 +
	4	1	j=120 ^о	=2 -	=3 -2
	5	2	j=30 ^о	=2 -3	=2 +
	4	7	j=30 ^о	=2 -3	=5 +
	4	2	j=30 ^о	=2 -	=3 +
	3	5	j=150 ^о	=3 -	=3 +2
	6	7	j=30 ^о	=2 -	= +3
	4	3	j=30 ^о	=3 -2	=3 +
	2	5	j=90 ^о	=2 -3	= +
	3	4	j=150 ^о	=2 -3	= +3
	2	3	j=60 ^о	=2 -	=5 +2
	3	4	j=150 ^о	= +3	=2 +
	1	5	j=120 ^о	=4 -3	= +
	3	4	j=30 ^о	=2 +4	= +
Вариант
	4	2	j=60 ^о	=2 -	=2
	5	3	j=30 ^о	=2 -	= +3
	4	3	j=90 ^о	=4 -2	= +2
	4	5	j=30 ^о	=2 -3	=5 +
	3	2	j=60 ^о	= -2	=4 +5
	4	1	j=30 ^о	=3 -	=4 +3
	4	2	j=45 ^о	= -5	= +2
	4	5	j=60 ^о	=6 +2	=4 -3
	4	7	j=150 ^о	= -2	=2 +
	3	4	j=60 ^о	=3 -2	=4 +5
	4	5	j=120 ^о	=4 -2	=3 +3
	4	2	j=30 ^о	=3 -5	=4 +

 

14.2 Даны векторы , , , (см. таблицу).

Найти для них

2)

3) Косинусы углов и углы между

4)

5) Площадь треугольника построенного на векторах

6) Смешанное произведение

7) Объём пирамиды построенной на

8) Разложение вектора по векторам , если они образуют базис.

 

 

Вариант
	=(1;-5;-1)	=(5;-4;2)	=(2;3;4)	=(3;18;23)
	=(1;-1;1)	=(1;2;2)	=(2;3;-2)	=(1;0;5)
	=(1;-2;-1)	=(2;1;2)	=(2;3;-1)	=(6;0;-1)
	=(1;1;-1)	=(-1;3;2)	=(2;3;-3)	=(-12;-4;19)
	=(1;-3;-1)	=(3;2;2)	=(2;3;-2)	=(11;-2;-1)
	=(1;-2;-1)	=(2;-2;2)	=(2;3;2)	=(6;12;2)
	=(1;1;-1)	=(-1;-1;2)	=(2;3;1)	=(0;0;-1)
	=(1;-2;-1)	=(2;5;2)	=(2;3;-5)	=(6;12;23)
	=(1;3;-1)	=(-3;-2;2)	=(2;3;2)	=(1;-8;-3)
	=(1;-4;-1)	=(4;3;2)	=(2;3;-3)	=(18;-4;-1)
	=(1;3;-1)	=(-3;3;2)	=(2;3;-3)	=(-24;-18;27)