Действия над векторами в координатной форме 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Действия над векторами в координатной форме



Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы

=x1× +y1× +z1× и =x2× +y2× +z2× ,

т.е. =(x1; y1; z1) и =(x2; y2; z2).

Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов

декартовыми, если отдельно не оговорено противное.

С такими векторами можно выполнить следующие действия:

сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее:

Сравнение

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты, = 1 = х2, y1=y2, z1=z 2 ).

Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, .

Векторы различных размерностей несравнимы.

Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы;

7.2 Сумма и разность векторов:

координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности)

одноименных координат этих векторов,

± =(x1× +y1× +z1× ) ± (x2× +y2× +z2× )= (х1±х2 +(y1±y2 +(z1±z2,

(x1; y1; z1) ± (x2; y2; z2) = (x1±x2; y1±y2; z1±z2);

7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его

координаты, l× =l×(x1 +y1 +z1 )=(lх1 +(ly1 +(lz1,

l×(x1; y1; z1)= (l×x1; l×y1; l×z1);

7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме:

(8) × 1×x2+y1×y2+ z1×z2,

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных

произведений одноименных координат.

Выведем эту формулу:

× =(x1 +y1 +z× )×(x2 +y2 +z× )=

= х1x2× 2 + x1y2× × + x1z2× +

+ y1x2× × + y1y2× 2 + y1z2× +

+ z1x2× + z1y2× + z1z2× 2.

Векторы , , ортонормированны,

т.е. для них × = × = = = = = 0, 2= 2= 2=1,

поэтому × 1x2× 1 +y1y2× 1 + z1z2× 1;


Модуль вектора

При = формула (8) примет вид × = 2= x12+y12+z12,

получим (9) | |= , | |= ,

т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному

корню из суммы квадратов его координат;

7.6 Косинус угла между векторами (при ¹0, ¹0)

(10) cos( ^ )= = .

Если ^ , то × =0 и, следовательно х1х2+y1y2+z1z2=0условие

перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами;

Условие коллинеарности

Пусть векторы и коллинеарны, тогда =l ,

х1=lx2, y1=ly2, z1=lz2.

Получили, что если выполнено ,

то векторы и коллинеарны.

 

Координаты вектора (без разделителей “; “) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz:

=1 следовательно .

условие коллинеарности двух трехмерных

векторов, заданных координатами.

Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю;

7.8 Координаты вектора

Если известны координаты начальной точки и конечной точки вектора , то координаты такого вектора (после переноса начальной точки в начало координат О) находятся как разность векторов и (из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),

(11) ;



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-09; просмотров: 1628; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.144.95.36 (0.026 с.)