Действия над векторами в координатной форме

Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы

=x₁× +y₁× +z₁× и =x₂× +y₂× +z₂× ,

т.е. =(x₁; y₁; z₁) и =(x₂; y₂; z₂).

Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов

декартовыми, если отдельно не оговорено противное.

С такими векторами можно выполнить следующие действия:

сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее:

Сравнение

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты, = (х₁ = х₂, y₁=y₂, z₁=z ₂ ).

Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, .

Векторы различных размерностей несравнимы.

Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы;

7.2 Сумма и разность векторов:

координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности)

одноименных координат этих векторов,

± =(x₁× +y₁× +z₁× ) ± (x₂× +y₂× +z₂× )= (х₁±х₂)× +(y₁±y₂)× +(z₁±z₂)× ,

(x₁; y₁; z₁) ± (x₂; y₂; z₂) = (x₁±x₂; y₁±y₂; z₁±z₂);

7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его

координаты, l× =l×(x₁ +y₁ +z₁ )=(lх₁)× +(ly₁)× +(lz₁)× ,

l×(x₁; y₁; z₁)= (l×x₁; l×y₁; l×z₁);

7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме:

(8) × =х₁×x₂+y₁×y₂+ z₁×z₂,

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных

произведений одноименных координат.

Выведем эту формулу:

× =(x₁ +y₁ +z× )×(x₂ +y₂ +z× )=

= х₁x₂× ² + x₁y₂× × + x₁z₂× +

+ y₁x₂× × + y₁y₂× ² + y₁z₂× +

+ z₁x₂× + z₁y₂× + z₁z₂× ²_.

Векторы , , ортонормированны,

т.е. для них × = × = = = = = 0, ²= ²= ²=1,

поэтому × =х₁x₂× 1 +y₁y₂× 1 + z₁z₂× 1;

Модуль вектора

При = формула (8) примет вид × = ²= x₁²+y₁²+z₁²,

получим (9) | |= , | |= ,

т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному

корню из суммы квадратов его координат;

7.6 Косинус угла между векторами (при ¹0, ¹0)

(10) cos( ^ )= = .

Если ^ , то × =0 и, следовательно х₁х₂+y₁y₂+z₁z₂=0 – условие

перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами;

Условие коллинеарности

Пусть векторы и коллинеарны, тогда =l ,

х₁₌lx₂, y₁₌ly₂, z₁₌lz₂.

Получили, что если выполнено ,

то векторы и коллинеарны.

 

Координаты вектора (без разделителей “; “) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz:

=1 следовательно .

– условие коллинеарности двух трехмерных

векторов, заданных координатами.

Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю;

7.8 Координаты вектора

Если известны координаты начальной точки и конечной точки вектора , то координаты такого вектора (после переноса начальной точки в начало координат О) находятся как разность векторов и (из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),

(11) ;