Векторная алгебра. Координаты и векторы в пространстве

Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке называется вектором. Обозначается или строчной буквой латинского алфавита: . Тогда координаты вектора =

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается: , и вычисляется по формуле .

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение в координатах. Пусть векторы , Тогда скалярно произведение косинус угла между векторами можно вычислить по формуле .

Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый , и удовлетворяющий трём условиям:

· перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов,

· его длина ,

· тройка векторов - правая.

Векторное произведение в координатах: . Где -единичные векторы.

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах (рисунок 1).

Рисунок 1 - Площадь параллелограмма равна векторному произведению

Смешанным произведением векторов называютвекторно-скалярное произведение трех векторов .

Смешанное произведение в координатах. , тогда

Геометрический смысл . Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку, т.е.

Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.

Определение. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a|<δ, имеет место неравенство |f(x) - b|<ε. Если b есть предел функции f(x) при x→a, то пишут или f(x)→b при x → a.

Пример.

, , так как .

- не существует, , так как .

Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Причём

1) Неопределенность вида раскрывается с помощью тождественных преобразований:

а) если в числителе и знаменателе – многочлены, то следует разложить их на множители и дробь сократить.

б) если дробь содержит иррациональные выражения, то необходимо избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе либо введением новой переменной, либо преобразованием дроби с использованием формулы разности квадратов .

Пример.

2) Неопределенность вида также раскрывается с помощью тождественных преобразований: необходимо выражение домножить и разделить на это же выражение, только с противоположным знаком.

Пример.

3) Неопределенность вида раскрывается следующим образом: числитель и знаменатель дроби разделить на х в старшей степени.

 

 

Пример.

4) Формула для раскрытия неопределенности вида

5) Формула для раскрытия неопределенности вида

Неопределенность вида сводится ко второму замечательному пределу.

Замечательные пределы

I.

Следствия первого замечательного предела:

; ; ; .

II.

Следствия второго замечательного предела:

, , , .

Частные производные функции

Пусть функция определена в области D и . Тогда при малых определено ее частное приращение по x: .

Частной производной функции по переменной x в точке называют предел если он существует.

Частную производную по обозначают одним из следующих символов: Аналогично определяется частная производная по y и вводятся ее обозначения.

Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Пример. Вычислить частные производные функции по каждой из переменных и . Производную по найдём, считая переменной, а постоянной величиной:

Выражения называют частными производными второго порядка функции по x и по y, соответственно, а выражения – смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и .

Теорема. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные, причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке

Пример. Найдем частные производные функции .

.

Полученные формулы теряют смысл в точке 0 (0;0).

 

Неопределённый интеграл

Пусть на некотором интервале , задана функция . Функция называется первообразной для на интервале , если для всех .

Любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную. Множество всех первообразных , где - произвольная постоянная, для функции на интервале называется неопределённым интегралом функции . Символически это записывается так:

.

Выражение называется подынтегральным выражением, функция - подынтегральной функцией. Вычислить неопределённый интеграл означает найти множество всех первообразных подынтегральной функции.

Основные свойства неопределённого интеграла (правила интегрирования):

· производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: ;

· дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: ;

· интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ;

· постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: ;

· если существуют интегралы , то неопределённый интеграл суммы функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций: ;

· неопределённый интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: .

Таблица основных неопределённых интегралов

 

1	12
2	13
3	14
4	15
5	16
6	17
7	18
8	19
9	20
10	21
11	22