Линейная алгебра. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Линейная алгебра. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса



Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где числа называются коэффициентами системы, числа — свободными членами. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, — расширенная матрица системы:

.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

При для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Таким образом чтобы доказать, что система совместна достаточно доказать, что её определитель равен нулю.

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем ∆ (или ) квадратной матрицы A порядка n называется число

где - определитель квадратной матрицы порядка (n-1), полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента .

Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя имеет вид:

Или =

Пример. Вычислить определитель

Метод Крамера

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных имеет вид:

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно сформулировать теорему (правило Крамера): Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера

Итак, решение системы: х = 1, у = 2, z = 3.

Метод Гаусса

Метод Гаусса – алгоритм нахождения решения невырожденных систем линейных уравнений (система линейных уравнений невырожденная, когда её определитель не равен нулю). Основная идея метода состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены непосредственно в явном виде.

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся:

· умножение любого из уравнений на ненулевую константу;

· перестановка уравнений;

· прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на – а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на – а 11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

затем приводят её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований (перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другие строки).

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 439; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.203.221.104 (0.438 с.)