Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейная алгебра. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса
Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида где числа называются коэффициентами системы, числа — свободными членами. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, — расширенная матрица системы: . Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю: Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение: Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. При для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Таким образом чтобы доказать, что система совместна достаточно доказать, что её определитель равен нулю. Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем ∆ (или ) квадратной матрицы A порядка n называется число где - определитель квадратной матрицы порядка (n-1), полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента . Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя имеет вид: Или = Пример. Вычислить определитель Метод Крамера Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных имеет вид: Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Тогда можно сформулировать теорему (правило Крамера): Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера Итак, решение системы: х = 1, у = 2, z = 3. Метод Гаусса Метод Гаусса – алгоритм нахождения решения невырожденных систем линейных уравнений (система линейных уравнений невырожденная, когда её определитель не равен нулю). Основная идея метода состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены непосредственно в явном виде. Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся: · умножение любого из уравнений на ненулевую константу; · перестановка уравнений; · прибавление к уравнению любого другого уравнения системы. Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на – а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на – а 11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид: Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы: затем приводят её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований (перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другие строки). Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 439; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.203.221.104 (0.438 с.) |